Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Hãy chứng minh định lí 3.
Đề bài
Hãy chứng minh định lí 3: \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\).
Lời giải chi tiết
Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)} \over 2}\) (1)
+) Với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.
+) Với \(n = 1\), ta có \({S_1} = {u_1} = {{1\left( {{u_1} + {u_1}} \right)} \over 2}.\) Như vậy (1) đúng với \(n = 1\).
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:
\({S_k} = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
\(\eqalign{& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} \cr & = {{k\left( {{u_1} + {u_k}} \right)} \over 2} + {u_{k + 1}} \cr & = {{k\left( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} \right) + 2{u_{k + 1}}} \over 2} \cr & = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} \over 2} \cr & = {{k{u_1} + \left( {k + 1} \right){u_{k + 1}} + {u_1}} \over 2} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} \right)} \over 2} \cr} \)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\)
Vậy (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).
Cách khác :
Ta có:
\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} \cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} \cr} } \right. \cr & \Rightarrow 2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_n}} \right) + \left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} \right) \cr&+ ... + \left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} \right) + \left( {{u_n} + {u_1}}\right) \cr} \)
Mà \({u_1} + {u_n}= {u_2} + {u_{n - 1}} \)\(= {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1}\)
Do đó \(2{S_n} = n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)
\(\Rightarrow {S_n} = {n \over 2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)\)
Câu 26 Trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Phân tích Chi Tiết và Hướng Dẫn Giải
Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các bài toán liên quan đến việc khảo sát hàm số bậc ba, bao gồm việc tìm cực trị, điểm uốn, và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, điều kiện cực trị, và tính chất của hàm số.
I. Tóm Tắt Lý Thuyết Quan Trọng
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần ôn lại một số lý thuyết quan trọng:
- Đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x, ký hiệu là f'(x), biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số tại điểm đó.
- Điều kiện cực trị: Hàm số f(x) đạt cực đại tại x0 nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0 nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) > 0.
- Điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Điều kiện để điểm x0 là điểm uốn là f''(x0) = 0 và f'''(x0) ≠ 0.
II. Phân Tích Đề Bài và Lập Kế Hoạch Giải
Thông thường, câu 26 trang 115 sẽ yêu cầu học sinh:
- Xác định tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
- Tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Tìm điểm uốn của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
III. Giải Chi Tiết Câu 26 Trang 115 (Ví dụ Minh Họa)
Giả sử đề bài cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
- Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
- Đạo hàm:
- y' = 3x2 - 6x
- y'' = 6x - 6
- Điểm cực trị:
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Tại x = 0, y'' = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại điểm (0, 2).
Tại x = 2, y'' = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại điểm (2, -2).
- Điểm uốn:
Giải phương trình y'' = 0, ta được x = 1.
Tại x = 1, y''' = 6 ≠ 0, hàm số có điểm uốn tại điểm (1, 0).
- Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.
IV. Các Dạng Bài Tập Liên Quan và Mẹo Giải
Ngoài dạng bài tập tìm cực trị và điểm uốn, câu 26 trang 115 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác như:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
- Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán thực tế.
Mẹo giải:
- Luôn kiểm tra lại các điều kiện cần và đủ để đảm bảo tính chính xác của kết quả.
- Sử dụng máy tính cầm tay để tính toán nhanh chóng và chính xác.
- Luyện tập thường xuyên để nắm vững các kỹ năng giải bài tập.
V. Kết Luận
Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số, đạo hàm, và kỹ năng giải bài tập. Bằng cách nắm vững lý thuyết, phân tích đề bài một cách cẩn thận, và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
