Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các quan hệ trong không gian.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường tròn \((C_1),(C_2)\) lần lượt có phương trình:
\(\eqalign{& \left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0 \cr & \left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0 \cr} \)
Viết phương trình ảnh của mỗi đường tròn trên qua phép đối xứng có trục Oy
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{& {x^2} + {y^2} - 4x + 5y + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + {5 \over 2}} \right)^2} = {{37} \over 4} \cr} \)
\((C_1)\) có tâm \({I_1}\left( {2; - {5 \over 2}} \right)\) và bán kính \({R_1} = {{\sqrt {37} } \over 2}\)
Gọi \(I'_1\) là ảnh của \(I_1\) qua phép đối xứng có trục Oy thì \(I{'_1}\left( { - 2; - {5 \over 2}} \right)\)
Vậy phương trình ảnh \((C'_1)\) của \((C_1)\) qua phép đối xứng trục Oy là:
\(\eqalign{& {\left( {x + 2} \right)^2} + \left( {y + {5 \over 2}} \right) = {{37} \over 4} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4x + 5y + 1 = 0 \cr} \)
Lại có:
\(\begin{array}{l}\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 30\end{array}\)
\((C_2)\) có tâm \({I_2}\left( {0;-5} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt {30}\)
Gọi \(I'_2\) là ảnh của \(I_2\) qua phép đối xứng có trục Oy thì \(I{'_2}\left( { 0; - 5} \right)\) trùng với \(I_2\).
Vậy phương trình ảnh \((C'_2)\) của \((C_2)\) qua phép đối xứng trục Oy là chính \(\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 10y - 5 = 0\).
Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải pháp Chi Tiết
Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, tích vô hướng và các tính chất liên quan.
I. Tóm tắt lý thuyết cần thiết
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
- Vectơ: Một đoạn thẳng có hướng. Vectơ được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối.
- Tích vô hướng của hai vectơ:a \cdot b = |a| |b| cos(\theta), trong đó \theta là góc giữa hai vectơ.
- Điều kiện vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: a \cdot b = 0.
- Các tính chất của tích vô hướng: Giao hoán, phân phối, kết hợp.
II. Phân tích bài toán Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao
Thông thường, bài toán Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ cho một hình chóp hoặc một hình tứ diện, và yêu cầu chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc hai đường thẳng vuông góc với nhau. Để giải quyết bài toán, chúng ta cần:
- Xác định các vectơ liên quan: Xác định các vectơ biểu diễn các cạnh, đường cao, hoặc các đoạn thẳng cần xét.
- Tính tích vô hướng: Tính tích vô hướng của các vectơ đã xác định.
- Kết luận: Dựa vào kết quả tích vô hướng để kết luận về mối quan hệ vuông góc.
III. Giải chi tiết Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao (Ví dụ minh họa)
Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD của hình chóp S.ABCD, với ABCD là hình vuông.
Lời giải:
Để chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, ta cần chứng minh SA vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng ABCD. Ta chọn AB và AD.
Ta có:
- SA \cdot AB = 0 (do SA vuông góc với AB)
- SA \cdot AD = 0 (do SA vuông góc với AD)
Vậy, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD.
IV. Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải
Ngoài bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, còn có các dạng bài tập tương tự như:
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
- Tính góc giữa hai vectơ.
- Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc.
Để giải các bài tập này, chúng ta cần áp dụng linh hoạt các kiến thức về vectơ, tích vô hướng và các tính chất liên quan. Ngoài ra, việc vẽ hình chính xác và phân tích bài toán một cách cẩn thận cũng rất quan trọng.
V. Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Hình học 11 Nâng cao và các tài liệu tham khảo khác. Montoan.com.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác.
Hy vọng bài giải chi tiết Câu 8 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự tin làm bài tập. Chúc bạn học tốt!
