Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SGK Toán 11 Nâng cao

Bài 3 trong chương trình Hình học không gian lớp 11 nâng cao tập trung vào một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về quan hệ vuông góc trong không gian.

I. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

1. Định nghĩa: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu và chỉ nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
2. Điều kiện cần: Nếu d vuông góc với (P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
3. Điều kiện đủ: Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P) thì d vuông góc với (P).

II. Tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có những tính chất quan trọng sau:

• Tính chất 1: Chỉ có một đường thẳng duy nhất đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
• Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, thì mọi đường thẳng vuông góc với (P) tại một điểm trên a đều nằm trong (Q) và ngược lại.

III. Ứng dụng của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán về:

• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.
• Chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn:

1. Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC).
2. Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
3. Tính AH và SC để tìm sin góc giữa SC và (ABCD).

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, bạn nên:

• Giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
• Tìm hiểu thêm các bài toán nâng cao và các dạng bài tập khác nhau.
• Thực hành vẽ hình và chứng minh các tính chất liên quan.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SGK Toán 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!