THCS
THCS
Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và các tính chất hình học để giải quyết. Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các bài giải SGK Hình học 11 Nâng cao, hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của bạn.
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.
Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.
a. Tính độ dài AD.
b. Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\).
a) Tính độ dài bằng cách sử dụng định lý Py-ta-go.
b) Xác định điểm cách đều bằng tính chất tam giác vuông.
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khác \({90^0}\)) là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a. Ta có: CD ⊥ BC và CD ⊥ AB nên CD ⊥ (ABC)
mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC.
Trong tam giác vuông ABC ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {b^2}\)
Trong tam giác vuông ACD ta có:
\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
Suy ra: \(AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
b. Ta có: \(AB \bot BC\) và \(AB \bot CD\) suy ra AB ⊥ (BCD) do đó AB ⊥ BD.
Gọi I là trung điểm AD ta có:
+) Tam giác ACD vuông tại C có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: \(IA = IC = ID = \frac{{AD}}{2}\left( 1 \right)\)
+) Tam giác ABD vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: \[IA = IB = ID = \frac{{AD}}{2}\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB = IC = ID
Vây I cách đều A, B, C, D.
c. Ta có: \(AB \bot \left( {BCD} \right)\) \( \Rightarrow BD\) là hình chiếu của \(AD\) trên \(\left( {BCD} \right)\).
Khi đó góc \(\widehat {\left( {AD,\left( {BCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,BD} \right)} = \widehat {ADB}\).
Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\) thì \(\sin \widehat {ADB} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {AD,\left( {BCD} \right)} \right)} = \arcsin \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Lại có \(DC \bot \left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(AD\) trên \(\left( {ABC} \right)\).
Khi đó góc \(\widehat {\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,AC} \right)} = \widehat {DAC}\)
Xét tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) thì \(\sin \widehat {DAC} = \dfrac{{CD}}{{AD}} = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right)} = \arcsin \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Câu 16 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao thường thuộc vào các dạng bài tập liên quan đến vectơ trong không gian, đặc biệt là các bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, tìm mối quan hệ giữa các vectơ, hoặc xác định vị trí tương đối của các điểm. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
Để cung cấp một lời giải cụ thể, chúng ta cần biết nội dung chính xác của Câu 16 trang 103. Tuy nhiên, dựa trên kinh nghiệm giảng dạy và phân tích các bài tập tương tự, chúng ta có thể đưa ra một phương pháp giải tổng quát:
Giả sử Câu 16 yêu cầu chứng minh rằng: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: overrightarrow{AB} + vecding{AD} + vecding{AA'} = vecding{AC'}.
Lời giải:
Ta có: vecding{AC'} = vecding{AB} + vecding{BC'} = vecding{AB} + vecding{AD} + vecding{DC'} = vecding{AB} + vecding{AD} + vecding{AA'}.
Vậy, vecding{AB} + vecding{AD} + vecding{AA'} = vecding{AC'}.
Ngoài Câu 16, SGK Hình học 11 Nâng cao còn có nhiều bài tập tương tự liên quan đến vectơ. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
Khi giải bài tập về vectơ, học sinh cần lưu ý một số điều sau:
Montoan.com.vn là một nền tảng học toán online uy tín, cung cấp các bài giảng chất lượng, bài tập đa dạng, và lời giải chi tiết cho các bài tập SGK Hình học 11 Nâng cao. Chúng tôi cam kết đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục toán học, giúp bạn đạt được kết quả tốt nhất.
