Trong các bài từ 51 đến 63, hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả đã cho.

Giá trị lớn nhất của các biểu thức \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) là :

A. 0

B. 1

C. 2

D. \({1 \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Chọn B vì:

\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x \)

\( = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

\(= 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \le 1\)

Giá trị bé nhất của biểu thức \(\sin x + \sin \left( {x + {{2\pi } \over 3}} \right)\) là

A. -2

B. \({{\sqrt 3 } \over 2}\)

C. -1

D. 0

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin x + \sin \left( {x + {{2\pi } \over 3}} \right)\)

\(=2\sin \left( {x + {\pi \over 3}} \right)\cos {\pi \over 3}\)

\(= \sin \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \ge - 1\)

Chọn C

Tập giá trị của hàm số \(y = 2\sin2x + 3\) là :

A. \([0 ; 1]\)

B. \([2 ; 3]\)

C. \([-2 ; 3]\)

D. \([1 ; 5]\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(-1 ≤ \sin 2x ≤ 1 \) \( \Rightarrow - 2 \le 2\sin 2x \le 2 \)

\(\Rightarrow 1 \le 2\sin 2x + 3 \le 5\)

\(⇒ 1 ≤ y ≤ 5\)

Chọn D

Tập giá trị của hàm số \(y = 1 – 2|\sin3x|\) là

A. \([-1 ; 1]\)

B. \([0 ; 1]\)

C. \([-1 ; 0]\)

D. \([-1 ; 3]\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(0 ≤ |\sin3x| ≤ 1\) nên \(-1 ≤ y ≤ 1\)

Chọn A

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(y = {\cos ^2}x - \sin x\) là

A. 2

B. 0

C. \({5 \over 4}\)

D. 1

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& y = 1 - {\sin ^2}x - \sin x \cr&= 1 - \left( {{{\sin }^2}x + \sin x} \right) \cr & = {5 \over 4} - \left( {{{\sin }^2}x + \sin x + {1 \over 4}} \right) \cr&= {5 \over 4} - {\left( {\sin x + {1 \over 2}} \right)^2} \le {5 \over 4} \cr} \)

Chọn C

Tập giá trị của hàm số \(y = 4\cos2x – 3\sin2x + 6\) là :

A. \([3 ; 10]\)

B. \([6 ; 10]\)

C. \([-1 ; 13]\)

D. \([1 ; 11]\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& 4\cos 2x - 3\sin 2x\cr& = 5\left( {{4 \over 5}\cos 2x - {3 \over 5}\sin 2x} \right) \cr & = 5\left( {\cos 2x\cos \alpha - \sin 2x\sin \alpha } \right)\cr&\text{với}\,\left\{ {\matrix{{\cos \alpha = {4 \over 5}} \cr {\sin \alpha = {3 \over 5}} \cr} } \right. \cr & = 5\cos \left( {2x + \alpha } \right) \cr&\Rightarrow y = 6 + 5\cos \left( {2x + \alpha } \right)\cr& \Rightarrow 1 \le y \le 11 \cr} \)

Chọn D

Khi \(x\) thay đổi trong khoảng \(\left( {{{5\pi } \over 4};{{7\pi } \over 4}} \right)\) thì \(y = \sin x\) lấy mọi giá trị thuộc

A. \(\left[ {{{\sqrt 2 } \over 2};1} \right]\)

B. \(\left[ { - 1; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\)

C. \(\left[ { - {{\sqrt 2 } \over 2};0} \right]\)

D. \(\left[ { - 1;1} \right]\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({{5\pi } \over 4} < x < {{7\pi } \over 4} \)

\(\Rightarrow - 1 \le \sin x < - {{\sqrt 2 } \over 2} \)

\(\Rightarrow - 1 \le y < - {{\sqrt 2 } \over 2}\)

Chọn B

Khi \(x\) thay đổi trong nửa khoảng \(\left( { - {\pi \over 3};{\pi \over 3}} \right]\) thì \(y = \cos x\) lấy mọi giá trị thuộc

A. \(\left[ {{1 \over 2};1} \right]\)

B. \(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\)

C. \(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\)

D. \(\left[ { - 1;{1 \over 2}} \right]\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\( - {\pi \over 3} < x \le {\pi \over 3}\)

\(\Rightarrow {1 \over 2} \le \cos x \le 1\)

\(\Rightarrow {1 \over 2} \le y \le 1\)

Chọn A

Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 1\) thuộc đoạn \([π ; 2π]\) là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 1 \)

\(\Leftrightarrow x + {\pi \over 4} = {\pi \over 2} + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k2\pi \)

\(\pi \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi \Leftrightarrow \frac{3}{8} \le k \le \frac{7}{8}\)

Do k nguyên nên không có k thỏa mãn.

Phương trình không có nghiệm thuộc \([π ; 2π]\)

Chọn C

Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = - 1\) thuộc đoạn \([0 ; π]\) là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = - 1 \)

\(\Leftrightarrow 2x + {\pi \over 4} = - {\pi \over 2} + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = - {{3\pi } \over 8} + k\pi \)

\(0 \le - \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \le \pi \Leftrightarrow \frac{3}{8} \le k \le \frac{{11}}{8}\)

\(\Rightarrow k = 1\) ta được nghiệm \(x = {{5\pi } \over 8} \in \left[ {0;\pi } \right]\)

Chọn A

Một nghiệm của phương trình \({\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = 2\) là

A. \({\pi \over {12}}\)

B. \({\pi \over {3}}\)

C. \({\pi \over {8}}\)

D. \({\pi \over {6}}\)

Lời giải chi tiết:

Chọn D. Thử trực tiếp.

Số nghiệm của phương trình\(\cos \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = 0\) thuộc khoảng \((π ; 8π)\) là

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\cos \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x \over 2} + {\pi \over 4} = {\pi \over 2} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k2\pi \)

\(\pi < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 8\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{{15}}{4}\)

Chọn \(k{\rm{ }} \in {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right\}\)

Chọn B

Số nghiệm của phương trình \({{\sin 3x} \over {\cos x + 1}} = 0\) thuộc đoạn \([2π ; 4π]\) là

A. 2

B. 4

C. 5

D. 6

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({{\sin 3x} \over {\cos x + 1}} = 0\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\sin 3x = 0} \cr {\cos x \ne - 1} \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = k{\pi \over 3}} \cr {x \ne \pi + k2\pi } \cr} } \right.\)

\(2\pi \le x \le 4\pi \Leftrightarrow 2\pi \le \frac{{k\pi }}{3} \le 4\pi \)

\(\Leftrightarrow 6 \le k \le 12\).

Cho k nhận các giá trị từ 6 đến 12 ta thấy \(x = \frac{{9\pi }}{3} = 3\pi \) có \(\cos x=-1\) nên không thỏa mãn(loại).

Chọn \(k \in {\rm{ }}\left\{ {6;{\rm{ }}7;{\rm{ }}8;{\rm{ }}10;{\rm{ }}11;{\rm{ }}12} \right\}\)

Chọn D.