Câu hỏi và bài tập ôn tập chương IV

Chương IV: Giới hạn - Tổng quan và các khái niệm cơ bản

Chương IV trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào khái niệm giới hạn, một trong những nền tảng quan trọng của giải tích. Hiểu rõ về giới hạn là chìa khóa để tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.

1. Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta cần phân biệt giữa giới hạn một bên (giới hạn trái và giới hạn phải) và giới hạn hai bên.

• Giới hạn trái: lim_x→a^- f(x) (x tiến tới a từ bên trái)
• Giới hạn phải: lim_x→a⁺ f(x) (x tiến tới a từ bên phải)

Giới hạn của hàm số tại x = a tồn tại khi và chỉ khi giới hạn trái và giới hạn phải tại x = a cùng tồn tại và bằng nhau.

2. Các tính chất của giới hạn

Việc nắm vững các tính chất của giới hạn giúp chúng ta đơn giản hóa việc tính toán giới hạn của các hàm số phức tạp. Một số tính chất quan trọng bao gồm:

• Giới hạn của tổng: lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
• Giới hạn của tích: lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x)
• Giới hạn của thương: lim (f(x) / g(x)) = (lim f(x)) / (lim g(x)) (với lim g(x) ≠ 0)
• Giới hạn của hằng số: lim c = c (c là hằng số)

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Trong chương IV, chúng ta thường gặp các dạng giới hạn sau:

• Giới hạn vô cùng: lim f(x) = ∞ hoặc -∞ khi x tiến tới a
• Giới hạn tại vô cùng: lim_x→∞ f(x) hoặc lim_x→-∞ f(x)
• Giới hạn dạng 0/0: Sử dụng quy tắc L'Hôpital để giải quyết

4. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: Ta có (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4.

Bài 2: Tính lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 3)

Giải: Chia cả tử và mẫu cho x, ta được lim_x→∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2.

Các bài tập ôn tập chương IV - SGK Toán 11 Nâng cao

Dưới đây là một số bài tập ôn tập chương IV - SGK Toán 11 Nâng cao để bạn luyện tập:

1. Tính các giới hạn sau: lim_x→1 (x³ - 1) / (x - 1), lim_x→0 sin(x) / x
2. Cho hàm số f(x) = { x², x < 1; 2x - 1, x ≥ 1 }. Tính lim_x→1^- f(x) và lim_x→1⁺ f(x).
3. Chứng minh rằng lim_x→0 cos(x) = 1.

Việc giải các bài tập này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về khái niệm giới hạn và các ứng dụng của nó trong toán học. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!

montoan.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc học tập và ôn luyện chương IV - Giải tích 11 nâng cao. Chúc bạn thành công!