THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Câu 59 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Đại số và Giải tích lớp 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan cam kết cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tìm các giới hạn sau :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \)
Phương pháp giải:
Thay x vào hàm số suy ra giới hạn.
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \root 3 \of {{{2{x^4} + 3x + 1} \over {{x^2} - x + 2}}} \) \(= \root 3 \of {{{32 - 6 + 1} \over {4 + 2 + 2}}} = \root 3 \of {{{27} \over 8}} = {3 \over 2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}}\)
Phương pháp giải:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn và chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 5} } \over {2x - 1}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)} }}{{2x - 1}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left| x \right|\sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {x\left( {2 - {1 \over x}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \frac{1}{x}} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 - {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} } \over {2 - {1 \over x}}} = - {1 \over 2} \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}}\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi x < -3, ta có: \({{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = {{{x^4} + 1} \over {x + 1}}.{1 \over {x + 3}}\)
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {x + 1}} = {{82} \over { - 2}} = - 41 < 0\cr&\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {1 \over {x + 3}} = - \infty \cr &\text { vì } \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0,x + 3 < 0,\forall x < - 3 \cr & \text{Vậy }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} {{{x^4} + 1} \over {{x^2} + 4x + 3}} = + \infty \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \text{ Vì }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = + \infty \cr&\text{ và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = \sqrt {{6 \over 2}} = \sqrt 3 > 0 \cr & \text{ nên }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {3 \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {{{x + 4} \over {4 - x}}} = + \infty \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\)
Phương pháp giải:
Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2\).
Lời giải chi tiết:
Nhân tử và mẫu của phân thức với \(\sqrt {8 + 2x} + 2,\) ta được :
\(\eqalign{& {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }}\cr & = \frac{{\left( {\sqrt {8 + 2x} - 2} \right)\left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}}\cr &= {{8 + 2x - 4} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr & = {{2\left( {x + 2} \right)} \over {\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x} + 2} \right)}} \cr &= {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x} + 2}} \cr & \forall x > - 2 \cr} \)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{\sqrt {8 + 2x} - 2} \over {\sqrt {x + 2} }} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} {{2\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {8 + 2x }+ 2 }} = {0 \over 4} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)
Phương pháp giải:
Nhân chia liên hợp.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right) \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^2} + x - 4 - {x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt {4 + {x^2}} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x - 4} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + \left| x \right|\sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} }} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x\left( {1 - {4 \over x}} \right)} \over { - x\left( {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {{4 \over {{x^2}}} + 1} } \right)}} \cr & = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 - {4 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} }} \cr &= - {1 \over 2} \cr} \)
Câu 59 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm và các phương pháp giải phương trình để tìm ra đáp án chính xác. Bài viết này sẽ cung cấp một phân tích chi tiết về đề bài, các bước giải và lời giải hoàn chỉnh, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề và rèn luyện kỹ năng giải toán.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
f'(x) = 3x^2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm cực trịGiải phương trình f'(x) = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xác định loại điểm cực trịTính đạo hàm bậc hai:
f''(x) = 6x - 6
Tại x = 0: f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.
Tại x = 2: f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.
Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trịf(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2
f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2
Hàm số y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 có:
Để hiểu sâu hơn về các khái niệm hàm số, đạo hàm và điểm cực trị, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình giải toán.
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về Câu 59 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
