Bài 3. Cấp số cộng

Bài 3. Cấp số cộng - SGK Toán 11 Nâng cao ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Cấp số cộng là một dãy số đặc biệt, trong đó sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai của cấp số cộng.

1. Định nghĩa cấp số cộng

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số cộng nếu có một số công sai d sao cho:

• u_n+1 = u_n + d, với mọi n ≥ 1

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n - 1)d

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng
• d là công sai của cấp số cộng
• n là số thứ tự của số hạng

3. Tính chất của cấp số cộng

Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng:

• Nếu u_n = u_m thì u_k = u_k+m-n với mọi k
• Nếu u_n = 0 thì u_n+k = -u_n-k

4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (S_n) được tính theo công thức:

S_n = (n/2)(u₁ + u_n) = (n/2)[2u₁ + (n - 1)d]

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

Giải:

u₅ = u₁ + (5 - 1)d = 2 + 4 * 3 = 14

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 5 và tổng 10 số hạng đầu tiên S₁₀ = 100. Tìm công sai d.

Giải:

S₁₀ = (10/2)[2u₁ + (10 - 1)d] = 5[2 * 5 + 9d] = 100

=> 10 + 9d = 20

=> 9d = 10

=> d = 10/9

6. Ứng dụng của cấp số cộng

Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính số tiền tiết kiệm hàng tháng theo lãi suất cố định
• Tính chiều dài các cạnh của một hình đa giác đều
• Tính số lượng sản phẩm được sản xuất theo thời gian

7. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về cấp số cộng, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số cộng. Chúc bạn học tập tốt!