Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải Bài Tập Toán 11 Nâng Cao - Câu 43 Trang 219
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất cho học sinh, sinh viên. Hãy cùng theo dõi bài giải chi tiết dưới đây!
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có :
LG a
Nếu \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\text{ thì }\,{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Lời giải chi tiết:
Cho \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {x \ne 0} \right).\) Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\left( {\forall x \ge 1} \right)\,\,\left( 1 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
+ Với \(n = 1\), ta có : \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\) \(\text{ và }\,\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
+ Giả sử (1) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\),
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Thật vậy, ta có :
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( k \right)}}\left( x \right)} \right]' \)
\( = \left[ {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}} \right]' \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}.k!\frac{{ - \left( {{x^{k + 1}}} \right)'}}{{{{\left( {{x^{k + 1}}} \right)}^2}}} \) \(= {\left( { - 1} \right)^k}.k!.\frac{{\left( { - 1} \right).\left( {k + 1} \right){x^k}}}{{{x^{2k + 2}}}} \) \( = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Vậy ta có đpcm.
LG b
Nếu \(f\left( x \right) = \cos x\,\text{ thì }\,{f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x.\)
Lời giải chi tiết:
Cho \(f(x) = \cos x\). Ta hãy chứng minh công thức :
\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = \cos x\left( {\forall n \ge 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\) bằng phương pháp qui nạp.
Ta có: \(f'\left( x \right) = - \sin x;f"\left( x \right) = - \cos x;\)
\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)
+ Với n = 1 thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)
Suy ra (2) đúng khi n = 1
+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp \(n = k (k ≥ 1)\), tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x,\)
Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :
\({f^{\left( {4\left( {k + 1} \right)} \right)}}\left( x \right) = \cos x\) \(\left( {hay\,{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x} \right)\)
Thật vậy, vì :
\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = \cos x \\ \text{ nên }\,{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = - \sin x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - \cos x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = \sin x\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = \cos x\end{array}\)
Vậy ta có đpcm.
LG c
Nếu \(f\left( x \right) = \sin ax\) (a là hằng số) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = {a^{4n}}\sin ax.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\f"\left( x \right) = - {a^2}\sin ax\\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - {a^3}\cos ax\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax\end{array}\)
Với \(n = 1\) ta có \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = {a^4}\sin ax,\) đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
Với \(n = k + 1\) ta có \({f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {\left( {{f^{\left( {4k} \right)}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) \) \(= {\left( {{a^{4k}}\sin ax} \right)^{\left( 4 \right)}}\)
Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k + 4}}\sin ax\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), do đó đẳng thức đúng với mọi n.
Câu 43 Trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Đề Bài
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng xem lại đề bài của Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao:
(Đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x^3 - 3x + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Lời Giải Chi Tiết
Để giải Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất f'(x).
- Bước 3: Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc không xác định.
- Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Bước 5: Kết luận về các điểm cực trị.
Giải thích chi tiết từng bước:
Bước 1: Tập xác định của hàm số y = f(x) = x^3 - 3x + 2 là R (tập hợp tất cả các số thực).
Bước 2: Đạo hàm bậc nhất của hàm số là f'(x) = 3x^2 - 3.
Bước 3: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được:
3x^2 - 3 = 0 ⇔ x^2 = 1 ⇔ x = ±1
Vậy, các điểm mà f'(x) = 0 là x = 1 và x = -1.
Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số:
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | + |
| f(x) | ↗ | max | min | ↗ |
Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận:
- Hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại là f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4.
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 0.
Kết Luận
Vậy, hàm số y = f(x) = x^3 - 3x + 2 đạt cực đại tại điểm (-1, 4) và đạt cực tiểu tại điểm (1, 0).
Các Dạng Bài Tập Tương Tự
Ngoài Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, các bạn có thể tham khảo thêm các dạng bài tập tương tự về tìm cực trị của hàm số:
- Tìm cực trị của hàm số bậc ba.
- Tìm cực trị của hàm số hữu tỉ.
- Tìm cực trị của hàm số lượng giác.
Lưu Ý Khi Giải Bài Tập Cực Trị
Khi giải các bài tập về cực trị, các bạn cần lưu ý:
- Kiểm tra tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai.
- Tìm các điểm mà đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không xác định.
- Sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Hy vọng bài giải chi tiết Câu 43 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về phương pháp giải bài tập cực trị. Chúc các bạn học tập tốt!
