CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN - SGK Toán 11 Nâng cao ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

I. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của Giải tích. Nó mô tả hành vi của hàm số khi biến số độc lập tiến gần đến một giá trị cụ thể.

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở chứa điểm x₀ (trừ có thể tại x₀). Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x tiến tới x₀, ký hiệu là lim_x→x₀ f(x) = L, nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - x₀| < δ thì |f(x) - L| < ε.

2. Các dạng giới hạn vô định

Khi tính giới hạn, ta thường gặp các dạng vô định như 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞. Để giải quyết các dạng này, ta cần sử dụng các phương pháp đại số như phân tích thành nhân tử, nhân liên hợp, chia cả tử và mẫu cho x (khi x tiến tới vô cùng).

II. Giới hạn của hàm số tại vô cực

Giới hạn của hàm số tại vô cực mô tả hành vi của hàm số khi biến số độc lập tiến tới vô cùng dương hoặc âm.

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực

Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x tiến tới +∞ (hoặc -∞), ký hiệu là lim_x→+∞ f(x) = L (hoặc lim_x→-∞ f(x) = L), nếu với mọi số dương ε nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương M sao cho nếu x > M (hoặc x < -M) thì |f(x) - L| < ε.

2. Các quy tắc tính giới hạn tại vô cực

Các quy tắc tính giới hạn tại vô cực tương tự như các quy tắc tính giới hạn tại một điểm, nhưng cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt như hàm đa thức, hàm phân thức.

III. Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy số.

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Dãy số (u_n) được gọi là hội tụ về giới hạn L nếu với mọi số dương ε nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho nếu n > N thì |u_n - L| < ε.

2. Các dãy số đặc biệt

Một số dãy số đặc biệt như dãy số không, dãy số hằng, dãy số cấp số cộng, dãy số cấp số nhân có giới hạn xác định.

IV. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)
Bài 2: Tính lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 3)
Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số u_n = 1/n

Montoan.com.vn cung cấp hệ thống bài tập đa dạng với nhiều mức độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong các kỳ thi.

V. Kết luận

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN là một chương học quan trọng và có tính nền tảng trong chương trình Toán 11 Nâng cao. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp bạn học tốt các chương tiếp theo và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.

Hãy truy cập montoan.com.vn để học toán online hiệu quả và chinh phục mọi thử thách!