Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Áp dụng định nghĩa giới hạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} \)
Phương pháp giải:
Giới hạn phải
Giả sử hàm số \({\rm{f}}\) xác định định trên khoảng \(\left( {{x_o};b} \right)\). Ta nói rằng hàm số \({\rm{f}}\) có giới hạn bên phải là số thực \(L\) khi \(x\) tiến về \({x_o}\) nếu mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) trong khoảng \(\left( {{x_o};b} \right)\) mà \(\lim{\rm{ }}{x_n} = {x_o}\) ta đều có \(\lim{\rm{ (f(}}{x_n})) = L\).
Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim}\limits_{x \to x_o^ + } {\rm{f}}\left( x \right) = L\) hoặc \({\rm{f}}\left( x \right) \to L\) khi \(x \to x_o^ + \).
Giới hạn trái
Giả sử hàm số \({\rm{f}}\) xác định định trên khoảng \(\left( {a;{x_o}} \right)\). Ta nói rằng hàm số \({\rm{f}}\) có giới hạn bên trái là số thực \(L\) khi \(x\) tiến về \({x_o}\) nếu mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) trong khoảng \(\left( {a;{x_o}} \right)\) mà \(\lim{\rm{ }}{x_n} = {x_o}\) ta đều có \(\lim{\rm{ (f(}}{x_n})) = L\).
Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim}\limits_{x \to x_o^ - } {\rm{f}}\left( x \right) = L\) hoặc \({\rm{f}}\left( x \right) \to L\) khi \(x \to x_o^ - \).
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\)
Với mỗi dãy \(\left( {{x_n}} \right) \subset \left( {1; + \infty } \right)\) mà \(\lim {x_n} = 1\) ta có:
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \sqrt {{x_n} - 1} \)\( = \sqrt {1 - 1} = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( {\sqrt {5 - x} + 2x} \right)\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;5} \right]\)
Với mỗi dãy \(\left( {{x_n}} \right) \subset \left( { - \infty ;5} \right)\) mà \(\lim {x_n} = 5\) ta có:
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {\sqrt {5 - {x_n}} + 2{x_n}} \right)\)\( = \sqrt {5 - 5} + 2.5 = 10\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = 10\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {1 \over {x - 3}}\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Với mỗi dãy \(\left( {{x_n}} \right) \subset \left( {3; + \infty } \right)\) mà \(\lim {x_n} = 3\) ta có:
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \dfrac{1}{{{x_n} - 3}} = + \infty \) vì \(\lim 1 = 1 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\lim \left( {{x_n} - 3} \right) = 0\\{x_n} > 3 \Rightarrow {x_n} - 3 > 0\end{array} \right.\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{1}{{x - 3}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {1 \over {x - 3}}\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Với mỗi dãy \(\left( {{x_n}} \right) \subset \left( { - \infty ;3} \right)\) mà \(\lim {x_n} = 3\) ta có:
\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \dfrac{1}{{{x_n} - 3}} = - \infty \) vì \(\lim 1 = 1 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\lim \left( {{x_n} - 3} \right) = 0\\{x_n} < 3 \Rightarrow {x_n} - 3 < 0\end{array} \right.\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{1}{{x - 3}} = - \infty \)
Câu 26 trang 158 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
Để giải quyết Câu 26 trang 158, học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ hàm số cần xét, các điều kiện ràng buộc (nếu có) và yêu cầu của bài toán. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu tìm đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị, hoặc xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết Câu 26 trang 158 (ví dụ minh họa, đề bài cụ thể có thể khác):
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm cực trị của hàm số.
y' = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
=> x = 0 hoặc x = 2
Xét khoảng (-∞, 0): y' > 0 => Hàm số đồng biến
Xét khoảng (0, 2): y' < 0 => Hàm số nghịch biến
Xét khoảng (2, +∞): y' > 0 => Hàm số đồng biến
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2
Ngoài Câu 26 trang 158, học sinh có thể gặp các bài tập tương tự với các hàm số khác nhau, yêu cầu khác nhau. Để nâng cao kỹ năng giải bài tập, học sinh nên luyện tập thêm các bài tập sau:
Để giải bài tập đạo hàm một cách hiệu quả, học sinh nên:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải Câu 26 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!