Bài 3. Phép đối xứng trục

1. Định nghĩa phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục D_d qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Kí hiệu: D_d(M) = M’

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của phép đối xứng D_d.

2. Tính chất của phép đối xứng trục

Bảo toàn khoảng cách: M₁M₂ = M’₁M’₂
Bảo toàn góc: (M₁M₂, M₁M₃) = (M’₁M’₂, M’₁M’₃)
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0. Phép đối xứng trục D_d biến điểm M(x₀; y₀) thành điểm M’(x’; y’) có tọa độ được xác định bởi công thức:

x’ = x₀ - 2a(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

y’ = y₀ - 2b(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

4. Ví dụ minh họa

Cho đường thẳng d: x + y - 1 = 0 và điểm M(2; 3). Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục D_d.

Áp dụng công thức tọa độ, ta có:

x’ = 2 - 2(2 + 3 - 1) / (1² + 1²) = 2 - 2(4) / 2 = 2 - 4 = -2

y’ = 3 - 2(2 + 3 - 1) / (1² + 1²) = 3 - 2(4) / 2 = 3 - 4 = -1

Vậy, M’(-2; -1).

5. Bài tập áp dụng

Tìm ảnh của điểm A(1; 2) qua phép đối xứng trục d: x - y + 1 = 0.
Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: 2x + y - 3 = 0 qua phép đối xứng trục d: x = 1.
Chứng minh rằng phép đối xứng trục là một phép biến hình.

6. Mở rộng và liên hệ thực tế

Phép đối xứng trục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong thiết kế họa tiết, kiến trúc, và các lĩnh vực khác. Việc hiểu rõ về phép đối xứng trục giúp chúng ta nhận biết và phân tích các hình ảnh đối xứng trong cuộc sống.

Ngoài ra, phép đối xứng trục còn là nền tảng cho việc học các phép biến hình khác như phép quay, phép tịnh tiến, và phép vị tự. Việc nắm vững kiến thức về phép đối xứng trục sẽ giúp các bạn học tốt hơn các chương trình Hình học nâng cao.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho các bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phép đối xứng trục. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và đạt kết quả tốt nhất trong các kỳ thi.