Câu 7 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 7 Trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải pháp Chi Tiết

Câu 7 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, tích vô hướng và các tính chất liên quan.

I. Tóm tắt nội dung bài toán

Bài toán thường yêu cầu chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc hai đường thẳng vuông góc với nhau. Để làm được điều này, chúng ta cần sử dụng các công cụ vectơ như:

• Tích vô hướng của hai vectơ: a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ. Nếu a.b = 0 thì hai vectơ vuông góc.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Một vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.
• Điều kiện vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của d cùng phương với vectơ pháp tuyến của (P).
• Điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng: Hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của d1 vuông góc với vectơ chỉ phương của d2.

II. Phương pháp giải chi tiết

Để giải Câu 7 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:

1. Xác định các vectơ liên quan: Xác định các vectơ chỉ phương của đường thẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, và các vectơ khác cần thiết cho việc chứng minh.
2. Tính tích vô hướng: Tính tích vô hướng của các vectơ đã xác định để kiểm tra điều kiện vuông góc.
3. Kết luận: Dựa vào kết quả tính toán, đưa ra kết luận về mối quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.

III. Ví dụ minh họa (giả định một dạng bài tập cụ thể)

Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (SAD).

Giải:

1. Xác định các vectơ:
   • SA = (0, 0, a)
   • AD = (a, 0, 0)
   • DC = (0, a, 0)
   • SC = (-a, a, 0)
2. Tính tích vô hướng:
   • SC.SA = (-a)(0) + (a)(0) + (0)(a) = 0
   • SC.AD = (-a)(a) + (a)(0) + (0)(0) = -a² ≠ 0
   • SC.SD = (-a)(a) + (a)(a) + (0)(0) = 0
3. Kết luận:

   Vì SC.SA = 0 nên SC vuông góc với SA. Vì SC.SD = 0 nên SC vuông góc với SD. Do đó, SC vuông góc với mặt phẳng (SAD).

IV. Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải các bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian, cần chú ý:

• Vẽ hình chính xác và rõ ràng để dễ dàng hình dung các yếu tố trong không gian.
• Sử dụng các công thức và tính chất vectơ một cách chính xác.
• Kiểm tra lại kết quả tính toán để đảm bảo tính chính xác.
• Luyện tập thường xuyên để nắm vững phương pháp giải và rèn luyện kỹ năng giải toán.

V. Mở rộng kiến thức

Ngoài việc giải Câu 7 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao, bạn có thể tìm hiểu thêm về các ứng dụng của vectơ trong không gian, như tính góc giữa hai đường thẳng, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, và giải các bài toán về hình đa diện.

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Câu 7 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao và tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc bạn học tập tốt!