Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Bài 3 trong chương V của SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc tìm hiểu đạo hàm của các hàm số lượng giác cơ bản như sin(x), cos(x), tan(x), và cot(x). Việc nắm vững các công thức đạo hàm này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình giải tích.

I. Các công thức đạo hàm cơ bản

Dưới đây là các công thức đạo hàm quan trọng cần ghi nhớ:

Đạo hàm của sin(x): (sin(x))' = cos(x)
Đạo hàm của cos(x): (cos(x))' = -sin(x)
Đạo hàm của tan(x): (tan(x))' = 1/cos²(x) = sec²(x)
Đạo hàm của cot(x): (cot(x))' = -1/sin²(x) = -csc²(x)

II. Chứng minh các công thức đạo hàm

Các công thức đạo hàm trên có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm và các giới hạn lượng giác cơ bản. Ví dụ, để chứng minh (sin(x))' = cos(x), ta sử dụng định nghĩa:

(sin(x))' = lim_h→0 (sin(x+h) - sin(x))/h

Sử dụng công thức cộng góc sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h), ta có:

(sin(x))' = lim_h→0 (sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x))/h

= lim_h→0 (sin(x)(cos(h) - 1) + cos(x)sin(h))/h

= sin(x) * lim_h→0 (cos(h) - 1)/h + cos(x) * lim_h→0 sin(h)/h

= sin(x) * 0 + cos(x) * 1 = cos(x)

III. Các quy tắc đạo hàm và ứng dụng

Ngoài các công thức đạo hàm cơ bản, ta còn có thể sử dụng các quy tắc đạo hàm như quy tắc tích, quy tắc thương, và quy tắc hàm hợp để tính đạo hàm của các hàm số lượng giác phức tạp hơn.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = xsin(x)

Áp dụng quy tắc tích: (uv)' = u'v + uv'

y' = (x)'sin(x) + x(sin(x))' = 1*sin(x) + x*cos(x) = sin(x) + xcos(x)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = tan(x)/x

Áp dụng quy tắc thương: (u/v)' = (u'v - uv')/v²

y' = (tan'(x)*x - tan(x)*x')/x² = (sec²(x)*x - tan(x)*1)/x² = (xsec²(x) - tan(x))/x²

IV. Bài tập áp dụng

Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập:

Tính đạo hàm của hàm số y = cos(2x)
Tính đạo hàm của hàm số y = sin²(x)
Tính đạo hàm của hàm số y = x²tan(x)

V. Kết luận

Bài 3 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về đạo hàm của các hàm số lượng giác. Việc nắm vững các công thức và quy tắc đạo hàm này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 11 Nâng cao và các chương trình giải tích cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.