Câu 31 trang 117 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Câu 31 Trang 117 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 31 trang 117 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán Hình học 11.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’
Lời giải chi tiết
Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, A’B’C’D’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
* Ta chứng minh B’D ⊥ (BA’C) và B’D ⊥ (ACD’)
Ta có: \(\left\{ {\matrix{ {A'C' \bot B'D'} \cr {A'C' \bot BB'} \cr } } \right. \Rightarrow A'C' \bot \left( {BB'D'D} \right)\)
Mà B’D ⊂ (BB’D’D) nên B’D ⊥ A’C’ (1)
Tương tự \(\left\{ {\matrix{ {AB' \bot A'B} \cr {A'B \bot B'C'} \cr } } \right. \Rightarrow A'B \bot \left( {AB'C'D} \right)\)
Mà B’D ⊂ (AB’C’D) nên B’D ⊥ A’B (2)
Từ (1) và (2) suy ra B’D ⊥ (BA’C’)
Tương tự ta cũng chứng minh được B’D ⊥ (ACD’)
* Hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’) song song với nhau, vuông góc với đoạn B’D và chia B’D thành 3 phần bằng nhau (xét hình bình hành BB’DD’ và BO // D’O')
Do đó khoảng cách giữa mp(BA’C) và mp(ACD’) là \({{B'D} \over 3} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
* Khoảng cách giữa BC’ và CD’
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC’ và CD’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : mp(BA’C’) và mp(ACD’).
Vậy khoảng cách đó là \({{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Câu 31 Trang 117 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Phương Pháp Giải
Câu 31 trang 117 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của vectơ trong không gian. Bài toán thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích vô hướng, tích có hướng, và các tính chất của vectơ để giải quyết. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và phương pháp giải quyết bài toán vectơ trong không gian.
1. Tóm Tắt Lý Thuyết Liên Quan
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
- Tích vô hướng của hai vectơ:a.b = |a||b|cos(θ), với θ là góc giữa hai vectơ.
- Tích có hướng của hai vectơ:[a, b] là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b.
- Điều kiện vuông góc của hai vectơ:a.b = 0
- Điều kiện song song của hai vectơ:a = k.b, với k là một số thực khác 0.
2. Phân Tích Đề Bài và Xây Dựng Phương Pháp Giải
Thông thường, Câu 31 trang 117 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ cho một hình không gian (ví dụ: hình chóp, hình hộp) và yêu cầu chứng minh một mối quan hệ nào đó giữa các vectơ, hoặc tính một góc, một khoảng cách. Phương pháp giải thường bao gồm các bước sau:
- Chọn hệ tọa độ thích hợp: Việc chọn hệ tọa độ phù hợp sẽ giúp đơn giản hóa bài toán và dễ dàng tính toán.
- Biểu diễn các vectơ theo các vectơ đơn vị: Sử dụng các vectơ đơn vị để biểu diễn các vectơ trong hình.
- Áp dụng các công thức tính tích vô hướng, tích có hướng: Sử dụng các công thức để tính toán và chứng minh các mối quan hệ.
- Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo kết quả cuối cùng phù hợp với điều kiện của bài toán.
3. Giải Chi Tiết Câu 31 Trang 117 SGK Hình Học 11 Nâng Cao (Ví dụ Minh Họa)
(Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)
Lời giải:
- Chọn hệ tọa độ: Chọn A là gốc tọa độ, AB là trục Ox, AD là trục Oy, AS là trục Oz.
- Biểu diễn các vectơ:
- A(0; 0; 0)
- B(a; 0; 0)
- C(a; a; 0)
- D(0; a; 0)
- S(0; 0; a)
Suy ra: SC = (a; a; -a)
- Tính góc: Gọi φ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). Ta có: sin(φ) = cos(góc giữa SC và AC). Tính AC = (a; a; 0) và sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (SC.AC) / (|SC||AC|).
- Kết luận: Tính toán và đưa ra kết quả góc φ.
4. Các Dạng Bài Tập Tương Tự và Mẹo Giải
Ngoài Câu 31 trang 117, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian. Một số dạng bài tập thường gặp:
- Chứng minh các đường thẳng vuông góc, song song.
- Tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Mẹo giải:
- Luôn vẽ hình và xác định rõ các yếu tố cần thiết.
- Chọn hệ tọa độ phù hợp để đơn giản hóa bài toán.
- Sử dụng các công thức một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.
5. Luyện Tập Thêm
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán, bạn nên luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. montoan.com.vn sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và tài liệu học tập hữu ích khác để hỗ trợ bạn trong quá trình học tập.
