Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các quan hệ trong không gian.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập. Bên cạnh đó, bạn sẽ tìm thấy các bài tập tương tự để luyện tập và củng cố kiến thức.
Cho đường tròn (O) có đường kính AB.
Đề bài
Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A và B và PQ là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N
a. Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
b. Tìm quỹ tích các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi
Lời giải chi tiết
a. Ta có QB // AP (vì cùng vuông góc với PB) và B là trung điểm của AC nên Q là trung điểm của CM
Ta có AQ // BN (vì cùng vuông góc với AP) và B là trung điểm của AC nên N là trung điểm của CQ
b. Theo câu a) ta có \(\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {CQ} \) nên phép vị tự V tâm C tỉ số 2 biến Q thành M
Vì Q chạy trên đường tròn (O) (trừ hai điểm A, B) nên quỹ tích M là ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự V tâm C tỉ số 2 (trừ ảnh của A, B)
Tương tự, ta có \(\overrightarrow {CN} = {1 \over 2}\overrightarrow {CQ} \) nên quỹ tích N là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự V tâm C, tỉ số \({1 \over 2}\) (trừ ảnh của A, B)
Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải pháp Chi Tiết
Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, tích vô hướng và các tính chất liên quan.
I. Tóm tắt lý thuyết cần thiết
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
- Vectơ: Một đoạn thẳng có hướng. Vectơ được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối.
- Tích vô hướng của hai vectơ:a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ.
- Điều kiện vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: a.b = 0.
- Các tính chất của tích vô hướng: Giao hoán, phân phối, kết hợp.
II. Phân tích bài toán Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Thông thường, bài toán Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ cho một hình chóp hoặc một hình tứ diện, và yêu cầu chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc hai đường thẳng vuông góc với nhau. Để giải quyết bài toán, chúng ta cần:
- Xác định các vectơ liên quan: Xác định các vectơ biểu diễn các cạnh, đường cao, hoặc các đoạn thẳng cần xét.
- Tính tích vô hướng: Tính tích vô hướng của các vectơ đã xác định.
- Kết luận: Dựa vào kết quả tích vô hướng để kết luận về mối quan hệ vuông góc.
III. Giải chi tiết Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao (Ví dụ minh họa)
(Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) của hình chóp S.ABC vuông tại A)
Lời giải:
Để chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ta cần chứng minh SA vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABC). Ta chọn hai đường thẳng AB và AC.
- SA ⊥ AB vì tam giác SAB vuông tại A.
- SA ⊥ AC vì tam giác SAC vuông tại A.
Do đó, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) (theo định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
IV. Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải
Ngoài bài toán Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu vận dụng kiến thức về vectơ và tích vô hướng để chứng minh các quan hệ vuông góc trong không gian. Một số dạng bài tập thường gặp:
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.
- Tính góc giữa hai đường thẳng hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Để giải quyết các bài tập này, bạn cần:
- Nắm vững các định lý và tính chất liên quan đến vectơ và tích vô hướng.
- Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán và xác định các vectơ cần thiết.
- Thực hành giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và phương pháp giải.
V. Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập sau:
- Bài tập 1: Chứng minh đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) trong hình chóp S.ABCD vuông tại A.
- Bài tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC trong hình chóp S.ABCD vuông tại A.
- Bài tập 3: Tìm điều kiện để đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABC), với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hy vọng với bài giải chi tiết và các hướng dẫn trên, bạn đã nắm vững phương pháp giải Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao và các bài tập tương tự. Chúc bạn học tập tốt!
