Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm

Trong chương trình Hình học lớp 11 nâng cao, phép quay và phép đối xứng tâm đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu về các phép biến hình trong mặt phẳng. Hai phép biến hình này không chỉ là công cụ để giải quyết các bài toán hình học mà còn là nền tảng cho việc hiểu sâu hơn về các khái niệm liên quan đến đối xứng và tính chất bảo toàn hình dạng.

I. Phép quay

1. Định nghĩa: Phép quay tâm O với góc α (α đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

OM = OM’
Góc MOM’ = α

Ký hiệu: Q_{(O, α)}(M) = M’

2. Tính chất:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Ví dụ: Cho tam giác ABC, thực hiện phép quay Q_{(O, 60^o)}. Tam giác ABC sẽ biến thành tam giác A’B’C’ sao cho A’B’ = AB, B’C’ = BC, C’A’ = CA và góc giữa các cạnh tương ứng bằng 60^o.

II. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa: Phép đối xứng tâm I là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

Ký hiệu: Đ_I(M) = M’

2. Tính chất:

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Ví dụ: Cho hình vuông ABCD, thực hiện phép đối xứng tâm I (giao điểm hai đường chéo). Hình vuông ABCD sẽ biến thành chính nó.

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho điểm A(1; 2) và phép quay Q_{(O, 90^o)}. Tìm tọa độ điểm A’.

Giải:

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của A qua phép quay Q_{(O, 90^o)}. Ta có:

x’ = -y
y’ = x

Thay x = 1, y = 2 vào, ta được x’ = -2, y’ = 1. Vậy A’(-2; 1).

Bài 2: Cho điểm B(3; -1) và phép đối xứng tâm I(1; 0). Tìm tọa độ điểm B’.

Giải:

Gọi B’(x’; y’) là ảnh của B qua phép đối xứng tâm I(1; 0). Ta có:

x_I = (x + x’)/2
y_I = (y + y’)/2

Thay x = 3, y = -1, x_I = 1, y_I = 0 vào, ta được x’ = -1, y’ = 1. Vậy B’(-1; 1).

IV. Kết luận

Bài học về phép quay và phép đối xứng tâm đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản và quan trọng về hai phép biến hình này. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và cách áp dụng của chúng sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn. Hy vọng rằng, thông qua bài học này, các bạn học sinh đã có thêm những kiến thức hữu ích và tự tin hơn trong việc học tập môn Toán.