Câu 5 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Câu 5 Trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 5 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M thay đổi trên (O). Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua A, M2 là điểm đối xứng với M1 qua B, M3 là điểm đối xứng với M2 qua C
a. Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành M3 là một phép đối xứng tâm
b. Tìm quỹ tích điểm M3
Lời giải chi tiết
a. Gọi I là trung điểm của MM3, ta chứng minh I là điểm cố định
Thật vậy, ta có:
\(\eqalign{& \overrightarrow {CI} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {C{M_3}} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {{M_2}C} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\overrightarrow {{M_2}M} = \overrightarrow {BA} \cr} \)
Như vậy điểm I cố định, do đó phép biến hình F biến M thành M3 là phép đối xứng qua điểm I
b. Quỹ tích điểm M3 là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm với tâm I
Câu 5 Trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải pháp Chi Tiết
Câu 5 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đặc biệt là tích vô hướng để chứng minh các quan hệ vuông góc. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và định lý cơ bản.
I. Tóm tắt lý thuyết cần thiết
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức quan trọng:
- Vectơ: Định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực).
- Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa, công thức tính, ứng dụng để tính góc giữa hai vectơ và chứng minh quan hệ vuông góc.
- Quan hệ vuông góc: Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
II. Đề bài Câu 5 Trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD).)
III. Lời giải chi tiết
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
- Chọn hệ tọa độ: Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với AB, trục Oy trùng với AD và trục Oz hướng lên trên.
- Tìm tọa độ các điểm: Xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, S, M dựa trên hệ tọa độ đã chọn.
- Tính các vectơ: Tính các vectơ cần thiết, ví dụ: SM, AB, AD.
- Chứng minh quan hệ vuông góc: Sử dụng tích vô hướng để chứng minh SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Điều này có nghĩa là SM vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng (ABCD), ví dụ AB và AD.
Ví dụ minh họa:
Giả sử, sau khi chọn hệ tọa độ và tìm tọa độ các điểm, ta có:
- A(0; 0; 0)
- B(a; 0; 0)
- C(a; a; 0)
- D(0; a; 0)
- S(a/2; a/2; h)
- M(a/2; a; 0)
Khi đó:
- SM = (0; a/2; -h)
- AB = (a; 0; 0)
- AD = (0; a; 0)
Ta có:
- SM.AB = 0
- SM.AD = 0
Vậy SM vuông góc với cả AB và AD, suy ra SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
IV. Các bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
- Bài 6 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
- Bài 7 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
- Các bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian
V. Kết luận
Câu 5 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên, bạn đã nắm vững phương pháp giải bài toán này. Chúc bạn học tốt!
