THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn.
Bài tập này thuộc chương trình học Đại số và Giải tích lớp 11, đòi hỏi các em nắm vững kiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của chúng.
Cho dãy số (un)
Chứng minh rằng \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\) với mọi n.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{& {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{{{3.3}^n}}}.\frac{{{3^n}}}{n}\cr &= {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \cr & \le {1 \over 3}(1+1)={2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \)
(Vì \(\forall n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1\))
Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\) với mọi n.
Lời giải chi tiết:
Rõ ràng \(u_n> 0, ∀n ≥ 1\).
Ta chứng minh \({u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\)
Vậy (1) đúng với \(n = 1\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có:
\({u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}\)
Khi đó \(\frac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\) (theo câu a)
\( \Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}\)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) nên (1) đúng với mọi \(n\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các định lý:
+) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\).
Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\)
Mà \(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0\) \( \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)
Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh tìm đạo hàm của hàm số, xác định các điểm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số.
Thông thường, câu 4 trang 130 sẽ đưa ra một hàm số cụ thể và yêu cầu học sinh thực hiện các công việc sau:
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Giả sử hàm số được cho trong bài tập là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x2 - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Tính đạo hàm cấp hai: f''(x) = 6x - 6
Tại x = 0: f''(0) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2
Tại x = 2: f''(2) = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2
f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2 => Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞)
f'(x) < 0 khi 0 < x < 2 => Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2)
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Khi giải bài tập về đạo hàm và khảo sát hàm số, học sinh cần chú ý những điều sau:
Việc giải bài tập Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm mà còn có ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như:
Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập này và có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
