Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Bài Tập Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao - Câu 4 Trang 130

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn.

Bài tập này thuộc chương trình học Đại số và Giải tích lớp 11, đòi hỏi các em nắm vững kiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của chúng.

Cho dãy số (un)

LG a

Chứng minh rằng \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\) với mọi n.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{{{3.3}^n}}}.\frac{{{3^n}}}{n}\cr &= {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \cr & \le {1 \over 3}(1+1)={2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \)

(Vì \(\forall n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1\))

LG b

Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\) với mọi n.

Lời giải chi tiết:

Rõ ràng \(u_n> 0, ∀n ≥ 1\).

Ta chứng minh \({u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\)

Vậy (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có:

\({u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}\)

Khi đó \(\frac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\) (theo câu a)

\( \Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) nên (1) đúng với mọi \(n\).

LG c

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\).

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\)

Mà \(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0\) \( \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

Bạn đang khám phá nội dung Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao trong chuyên mục Học tốt Toán lớp 11 trên nền tảng tài liệu toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.

Đóng góp tài liệu?

Chia sẻ kiến thức cùng cộng đồng MonToan.com.vn

Facebook Gửi Email

Thông tin mở rộng

Câu 4 Trang 130 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải

Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh tìm đạo hàm của hàm số, xác định các điểm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số.

Nội Dung Bài Tập

Thông thường, câu 4 trang 130 sẽ đưa ra một hàm số cụ thể và yêu cầu học sinh thực hiện các công việc sau:

Tính đạo hàm cấp nhất của hàm số.
Tìm các điểm cực trị của hàm số (điểm cực đại, điểm cực tiểu).
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Phương Pháp Giải Bài Tập

Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Kiến thức về đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit).
Điều kiện cực trị: Hiểu rõ điều kiện cần và đủ để một điểm là điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát hàm số: Biết cách sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, và vẽ đồ thị hàm số.

Lời Giải Chi Tiết

Giả sử hàm số được cho trong bài tập là: f(x) = x³ - 3x² + 2

Tính đạo hàm cấp nhất:

f'(x) = 3x² - 6x

Tìm điểm cực trị:

Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2

Tính đạo hàm cấp hai: f''(x) = 6x - 6

Tại x = 0: f''(0) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2

Tại x = 2: f''(2) = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2

Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến:

f'(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 2 => Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞)

f'(x) < 0 khi 0 < x < 2 => Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2)

Vẽ đồ thị hàm số:

Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Lưu Ý Khi Giải Bài Tập

Khi giải bài tập về đạo hàm và khảo sát hàm số, học sinh cần chú ý những điều sau:

Kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán.
Sử dụng đúng các quy tắc tính đạo hàm.
Phân tích kỹ kết quả để đưa ra kết luận chính xác.
Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.

Ứng Dụng Của Bài Tập

Việc giải bài tập Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm mà còn có ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như:

Kinh tế: Tìm điểm tối ưu trong sản xuất và kinh doanh.
Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc, và các đại lượng liên quan đến chuyển động.
Kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống và công trình.

Tổng Kết

Câu 4 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập này và có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.

Bài viết cùng chủ đề

Kho tài liệu Toán 11

Tổng hợp đề thi, chuyên đề và đáp án chi tiết

Tài liệu mới cập nhật