Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

I. Giới thiệu chung về phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác là phương trình có chứa hàm số lượng giác. Việc giải phương trình lượng giác là tìm các giá trị của biến số (thường là x) sao cho phương trình được thỏa mãn. Các phương trình lượng giác thường gặp bao gồm:

Phương trình sin(x) = a
Phương trình cos(x) = a
Phương trình tan(x) = a
Phương trình cot(x) = a

II. Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình sin(x) = a

Với -1 ≤ a ≤ 1, phương trình sin(x) = a có nghiệm:

x = arcsin(a) + k2π
x = π - arcsin(a) + k2π

Trong đó k là số nguyên.

2. Phương trình cos(x) = a

Với -1 ≤ a ≤ 1, phương trình cos(x) = a có nghiệm:

x = arccos(a) + k2π
x = -arccos(a) + k2π

Trong đó k là số nguyên.

3. Phương trình tan(x) = a

Phương trình tan(x) = a có nghiệm:

x = arctan(a) + kπ

Trong đó k là số nguyên.

4. Phương trình cot(x) = a

Phương trình cot(x) = a có nghiệm:

x = arccot(a) + kπ

Trong đó k là số nguyên.

III. Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình tích lượng giác bằng 0

Nếu A(x).B(x) = 0 thì A(x) = 0 hoặc B(x) = 0. Dạng phương trình này thường được giải bằng cách đưa về tích của các hàm lượng giác bằng 0, sau đó giải từng phương trình thành phần.

2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác

Ví dụ: a sin²(x) + b sin(x) + c = 0. Đặt t = sin(x), với -1 ≤ t ≤ 1, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình bậc hai, tìm các nghiệm t thỏa mãn -1 ≤ t ≤ 1, sau đó giải phương trình sin(x) = t.

3. Phương trình sử dụng công thức lượng giác

Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân đôi, chia đôi, hạ bậc để biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn, dễ giải hơn.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sin(x) = 1/2

Giải:

x = arcsin(1/2) + k2π = π/6 + k2π
x = π - arcsin(1/2) + k2π = 5π/6 + k2π

Ví dụ 2: Giải phương trình cos(x) = -√2/2

Giải:

x = arccos(-√2/2) + k2π = 3π/4 + k2π
x = -arccos(-√2/2) + k2π = -3π/4 + k2π

V. Luyện tập

Giải phương trình tan(x) = √3
Giải phương trình cot(x) = 1
Giải phương trình 2sin²(x) - 3sin(x) + 1 = 0

Kết luận:

Bài học hôm nay đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác và các phương pháp giải chúng. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn.