Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Câu 28 Trang 112 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài toán này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P). Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là φ (φ ≠ 90˚); hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng
LG a
Tam giác ABC có một cạnh song song hoặc nằm trong mp(P)
Lời giải chi tiết:
Xét trường hợp tam giác ABC có một cạnh, chẳng hạn BC nằm trong mp(P). Gọi A’ là hình chiếu của A trên mp(P).
Kẻ đường cao A’H của tam giác A’BC (H ϵ BC) thì AH là đường cao của tam giác ABC và \(\widehat {AHA'} = \varphi ,A'H = AH\cos \varphi .\)
Ta có: \({S_{A'BC}} = {1 \over 2}BC.A'H \) \(= {1 \over 2}BC.AH\cos \varphi = {S_{ABC.cos\varphi }}\)
Trường hợp cạnh BC của tam giác ABC song song với mp(P). Xét mp(Q) chứa BC và song song với mp(P), gọi giao điểm của AA’ với mp(Q) là A1. Khi đó ta có ΔA1BC = ΔA’B’C’ ; góc giữa mp(ABC) và mp(Q) bằng φ.
Do đó : \({S_{A'B'C'}} = {S_{{A_1}BC}} = {S_{ABC }.\cos \varphi}\)
LG b
Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).
Lời giải chi tiết:
Xét trường hợp tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).
Ta có thể giả sử mp(P) đi qua điểm A sao cho các đỉnh B, C ở về cùng một phía đối với mp(P).
Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC và mp(P); B’, C’ lần lượt là hình chiếu của B, C trên (P) thì B’C’ đi qua D.
Khi đó theo trường hợp a ta có :
\(\eqalign{ & {S_{ADC'}} = {S_{ADC.\cos \varphi }} \cr & {S_{ADB'}} = {S_{ABD.\cos \varphi }} \cr} \)
Trừ từng vế hai đẳng thức trên, ta có :
\({S_{AB'C'}} = {S_{ABC.\cos \varphi }}\)
Vậy mọi trường hợp ta đều có :
\({S_{A'B'C'}} = {S_{ABC.\cos \varphi }}\)
Câu 28 Trang 112 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải
Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các tính chất hình học. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
- Vectơ: Định nghĩa, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực.
- Tích vô hướng của hai vectơ: Công thức tính, ứng dụng để tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc.
- Hệ tọa độ trong không gian: Biểu diễn vectơ bằng tọa độ, các phép toán vectơ trong hệ tọa độ.
Đề Bài Câu 28 Trang 112 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)
Lời Giải Chi Tiết
Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện các bước sau:
- Chọn hệ tọa độ: Chọn gốc tọa độ tại A, các trục Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các đường thẳng AB, AD, SA.
- Tìm tọa độ các điểm: Xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, S dựa trên hệ tọa độ đã chọn.
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng SC: Tính vectơ SC = (xC - xS, yC - yS, zC - zS).
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD): Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên vectơ SA có thể được chọn làm vectơ pháp tuyến.
- Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD): Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin(θ) = |tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng| / (độ dài vectơ chỉ phương của đường thẳng * độ dài vectơ pháp tuyến của mặt phẳng).
Ví Dụ Minh Họa
(Ví dụ cụ thể với các giá trị số để minh họa cách giải. Ví dụ: Nếu SA = a, AB = a, thì tọa độ các điểm là A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a). Từ đó tính được vectơ SC và góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).)
Lưu Ý Quan Trọng
Khi giải các bài toán về vectơ trong không gian, cần chú ý:
- Chọn hệ tọa độ phù hợp: Việc chọn hệ tọa độ hợp lý sẽ giúp đơn giản hóa bài toán.
- Kiểm tra lại các phép tính: Đảm bảo các phép tính vectơ được thực hiện chính xác.
- Hiểu rõ ý nghĩa hình học của các phép toán vectơ: Điều này giúp bạn kiểm tra lại kết quả và tránh sai sót.
Bài Tập Tương Tự
Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
- Bài 1: ...
- Bài 2: ...
- Bài 3: ...
Kết Luận
Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn đã nắm vững phương pháp giải bài toán này. Chúc bạn học tốt!
