Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Bài Tập Toán 11 Nâng Cao: Câu 5 Trang 100

Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn! Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức, phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Mục tiêu của chúng tôi là hỗ trợ học sinh học toán hiệu quả, đặc biệt là các bài tập nâng cao trong chương trình Đại số và Giải tích 11.

Hãy chứng minh

Đề bài

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.\)

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 2\) ta có : \({1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}\)

Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k > 2\), tức là giả sử

\({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh

\({1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}\)

Thật vậy , ta có:

\(\eqalign{& {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} - {1 \over {k + 1}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)} \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr} \)

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên \(n > 1\).

Bạn đang khám phá nội dung Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao trong chuyên mục Bài tập Toán lớp 11 trên nền tảng toán học. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.

Đóng góp tài liệu?

Chia sẻ kiến thức cùng cộng đồng MonToan.com.vn

Facebook Gửi Email

Thông tin mở rộng

Câu 5 Trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Phân tích Chi Tiết và Lời Giải

Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các chủ đề về hàm số, đồ thị hàm số, hoặc các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản về các khái niệm và định lý liên quan.

I. Đề Bài Câu 5 Trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

(Giả định đề bài: Cho hàm số y = f(x) = x² - 4x + 3. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số.)

II. Phương Pháp Giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định: Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
Tìm điểm cực trị: Tính đạo hàm f'(x) và giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x) để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Tìm giá trị cực đại, cực tiểu: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để tìm giá trị cực đại và cực tiểu.
Xác định tập giá trị: Dựa vào giá trị cực đại, cực tiểu và khoảng đồng biến, nghịch biến để xác định tập giá trị của hàm số.

III. Lời Giải Chi Tiết

1. Tập xác định:

Hàm số y = f(x) = x² - 4x + 3 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực, tức là D = ℝ.

2. Tìm điểm cực trị:

f'(x) = 2x - 4

Giải phương trình f'(x) = 0, ta được:

2x - 4 = 0 ⇔ x = 2

Vậy hàm số có một điểm cực trị tại x = 2.

3. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến:

Khi x < 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 2).
Khi x > 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

4. Tìm giá trị cực tiểu:

f(2) = 2² - 4 * 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

Vậy hàm số có giá trị cực tiểu tại x = 2, và giá trị cực tiểu là -1.

5. Tập giá trị:

Vì hàm số có giá trị cực tiểu là -1 và hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (-∞; 2), nên tập giá trị của hàm số là [-1; +∞).

IV. Lưu Ý Khi Giải Bài Tập

Khi giải các bài tập về hàm số, đặc biệt là các bài tập nâng cao, học sinh cần:

Nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm số, đồ thị hàm số, đạo hàm.
Thực hành giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi, phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong để đảm bảo tính chính xác.

V. Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

Bài 1: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số y = -x² + 2x + 1.
Bài 2: Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y = x³ - 3x² + 2.
Bài 3: Khảo sát hàm số y = (x - 1) / (x + 1).

Montoan.com.vn hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!

Bài viết cùng chủ đề

Kho tài liệu Toán 11

Tổng hợp đề thi, chuyên đề và đáp án chi tiết

Tài liệu mới cập nhật