Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng là nền tảng quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11 nâng cao. Bài học này giới thiệu các khái niệm cơ bản về đường thẳng, mặt phẳng, các tính chất và mối quan hệ giữa chúng trong không gian ba chiều.

I. Khái niệm cơ bản

1. Đường thẳng: Trong không gian, đường thẳng được xác định bởi hai điểm phân biệt. Một đường thẳng có thể được biểu diễn bằng phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc.

2. Mặt phẳng: Mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng hoặc một điểm và một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng có dạng tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0.

II. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Có ba trường hợp vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

1. Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song khi chúng không có điểm chung và nằm trong cùng một mặt phẳng.
2. Hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau khi chúng có một điểm chung duy nhất.
3. Hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không có điểm chung và không nằm trong cùng một mặt phẳng.

III. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Có ba trường hợp vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

1. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Mọi điểm trên đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
2. Đường thẳng song song với mặt phẳng: Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.
3. Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng và mặt phẳng có một điểm chung duy nhất.

IV. Các tính chất cơ bản

1. Tính duy nhất: Một đường thẳng được xác định duy nhất bởi hai điểm phân biệt. Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi ba điểm không thẳng hàng.

2. Tính chất đối xứng: Đường thẳng và mặt phẳng có tính chất đối xứng qua các phép biến hình.

V. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4; 5). Viết phương trình đường thẳng AB.

Giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: AB = (3-1; 4-2; 5-3) = (2; 2; 2)

Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

x = 1 + 2t

y = 2 + 2t

z = 3 + 2t

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): 2x + y - z + 1 = 0 và điểm A(1; 1; 1). Tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

Giải:

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

d(A, (P)) = |2(1) + 1(1) - 1(1) + 1| / √(2² + 1² + (-1)²) = 3 / √6 = √1.5

VI. Luyện tập

Để củng cố kiến thức về bài 1, các em hãy tự giải các bài tập trong SGK Toán 11 Nâng cao và các bài tập bổ trợ khác. montoan.com.vn sẽ cung cấp thêm các bài tập và lời giải chi tiết trong các bài viết tiếp theo.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - SGK Toán 11 Nâng cao. Chúc các em học tập tốt!