THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 7 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài toán này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian.
Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên ba cạnh AB, DD’, C’B’ lần lượt lấy ba điểm M, N, P không trùng với các đỉnh sao cho
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên ba cạnh AB, DD’, C’B’ lần lượt lấy ba điểm M, N, P không trùng với các đỉnh sao cho \({{AM} \over {AB}} = {{D'N} \over {D'D}} = {{B'P} \over {B'C'}}\)
a. Chứng minh rằng mp(MNP) và mp(AB'D’) song song với nhau
b. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp(MNP)
Lời giải chi tiết
a. Kẻ ME song song với AB’ (E ∈ BB’) (1)
Ta có: \(\eqalign{ & {{B'E} \over {B'B}} = {{AM} \over {AB}} \Rightarrow {{B'E} \over {B'B}} = {{B'P} \over {B'C'}} \cr & \cr} \)
⇒ EP // BC’ ⇒EP // AD’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MEP) // (AB’D’) (3)
Rõ ràng D’N = B’E nên EN // B’D’
Mà B’D’ ⊂ (AB’D’) và E ∈ (MEP) nên từ (3) suy ra EN ⊂ (MEP), tức (MNP) chính là (MEP)
Vậy (MNP) // (AB’D’)
b. Từ M kẻ ME song song với AB’, từ P kẻ PF song song với B’D’. Từ N kẻ NK song song với AD’ cắt AD tại K
Thiết diện là lục giác MEPFNK có các cạnh đối song song
Câu 7 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và tính chất sau:
Trước khi bắt tay vào giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Sau đó, chúng ta lập kế hoạch giải bằng cách:
(Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng SM vuông góc với mặt phẳng (ABM).)
Chứng minh:
Ta có: M là trung điểm của CD nên MD = MC = a/2. Vì ABCD là hình vuông nên AB ⊥ AD.
Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có: SM = √(SA² + AM²) = √(a² + (a/2)² + a²) = a√6/2.
Ta cần chứng minh SM ⊥ (ABM), tức là SM ⊥ AB và SM ⊥ BM.
Ta có: AB ⊥ SA (do SA vuông góc với (ABCD)) và AB ⊥ AD. Do đó, AB ⊥ (SAM), suy ra AB ⊥ SM.
Xét tam giác ABM, ta có: BM = √(BC² + CM²) = √(a² + (a/2)²) = a√5/2.
Xét tam giác SBM, ta có: SB² = SA² + AB² = a² + a² = 2a², SM² = 3a²/2, BM² = 5a²/4.
Ta thấy SB² + BM² = 2a² + 5a²/4 = 13a²/4 ≠ 3a²/2 = SM². Do đó, tam giác SBM không vuông tại B.
Để chứng minh SM ⊥ BM, ta cần chứng minh SM.BM = 0. Ta có: SM = (0, 0, a), B = (a, a, 0), M = (a/2, 0, 0). Suy ra BM = (a/2 - a, 0 - a, 0 - 0) = (-a/2, -a, 0).
SM.BM = (0, 0, a).(-a/2, -a, 0) = 0 + 0 + 0 = 0. Vậy SM ⊥ BM.
Do đó, SM ⊥ (ABM) (đpcm).
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập trên, bạn đã nắm vững phương pháp giải Câu 7 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
