Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải Bài Tập Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao - Câu 11 Trang 225
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài viết này sẽ tập trung vào việc giải Câu 11 trang 225, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học của học sinh. Hãy cùng Montoan khám phá lời giải chi tiết cho câu hỏi này nhé!
Chứng minh rằng :
LG a
\(\cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \)
LG b
\(\cos {\pi \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1\,\text{ dấu căn}}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 2.
Lời giải chi tiết:
Với n = 2 ta có \(\cos {\pi \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\) đúng.
Giả sử (1) đúng với n = k tức là :
\(\cos {\pi \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \) (k – 1 dấu căn)
Với n = k + 1 ta có
\(\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left( {1 + \cos {\pi \over {{2^k}}}} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right) \cr & = {1 \over 4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right) \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \,\,\left( {k\,\text{ dấu căn}} \right) \cr} \)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(∀n ≥ 2\).
Câu 11 Trang 225 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải
Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường liên quan đến các chủ đề về hàm số, đạo hàm, hoặc các ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Để giải quyết câu hỏi này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản về các khái niệm và định lý liên quan.
I. Đề Bài Câu 11 Trang 225 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao
(Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
II. Phương Pháp Giải
Để tìm các điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm bậc nhất f'(x): Đạo hàm bậc nhất của hàm số cho ta thông tin về độ dốc của tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đồ thị hàm số.
- Tìm các điểm làm đạo hàm bậc nhất bằng 0 (f'(x) = 0): Các điểm này là các điểm dừng, có thể là điểm cực trị hoặc điểm uốn.
- Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất trên các khoảng xác định: Nếu đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm, điểm đó là điểm cực đại. Nếu đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm, điểm đó là điểm cực tiểu.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: Để xác định tọa độ của các điểm cực trị.
III. Lời Giải Chi Tiết Câu 11 Trang 225
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm làm đạo hàm bậc nhất bằng 0
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất
- Khoảng (-∞, 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)2 - 6(-1) = 9 > 0, hàm số đồng biến.
- Khoảng (0, 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)2 - 6(1) = -3 < 0, hàm số nghịch biến.
- Khoảng (2, +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)2 - 6(3) = 9 > 0, hàm số đồng biến.
Bước 4: Kết luận
Tại x = 0, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 03 - 3(0)2 + 2 = 2. Vậy điểm cực đại là (0, 2).
Tại x = 2, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2. Vậy điểm cực tiểu là (2, -2).
IV. Lưu Ý Khi Giải Các Bài Toán Về Hàm Số và Đạo Hàm
- Nắm vững các định nghĩa và định lý liên quan đến hàm số, đạo hàm.
- Thực hành giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải để đảm bảo tính chính xác.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
V. Bài Tập Tương Tự
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
- Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x4 - 4x2 + 3.
- Tìm các điểm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 2.
Montoan.com.vn hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
