Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải Bài Tập Toán 11 Nâng Cao: Câu 2 Trang 100
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài viết này sẽ tập trung vào việc giải Câu 2 trang 100, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng, dễ hiểu, giúp bạn học toán hiệu quả hơn. Hãy cùng Montoan khám phá lời giải chi tiết cho câu hỏi này nhé!
Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :
\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = {{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 3}\)
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 1\) ta có \({2^2} = {{2.2.3} \over 3}\) (đúng).
Vậy (1) đúng với \(n = 1\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :
\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :
\({2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :
\(\eqalign{& {2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = \frac{{2\left( {k + 1} \right).k\left( {2k + 1} \right)}}{3} + 4{\left( {k + 1} \right)^2} \cr&= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k} \right) + 12{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{3}\cr&= {{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2}+k+ 6k + 6} \right)} \over 3} \cr & = \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{3} \cr&= \frac{{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 4k + 3k + 6} \right)}}{3}\cr& = {{2\left( {k + 1} \right)\left[ {2k\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 2} \right)} \right]} \over 3} \cr & = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3} \cr} \)
Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)
Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Phân tích và Giải chi tiết
Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các chủ đề về hàm số, đồ thị hàm số, hoặc các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững kiến thức cơ bản về các khái niệm và định lý liên quan.
I. Đề bài Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
(Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = f(x) = x2 - 4x + 3. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số.)
II. Phân tích bài toán
Bài toán yêu cầu chúng ta xác định tập xác định và tập giá trị của hàm số bậc hai y = f(x) = x2 - 4x + 3. Để làm được điều này, chúng ta cần:
- Tập xác định: Hàm số bậc hai có tập xác định là tập số thực (R) vì với mọi giá trị x thuộc R, chúng ta đều có thể tính được giá trị tương ứng của y.
- Tập giá trị: Để tìm tập giá trị, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Hàm số bậc hai có dạng y = ax2 + bx + c (với a > 0) sẽ có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol. Hoành độ đỉnh được tính bằng công thức x = -b/2a.
III. Lời giải chi tiết
1. Tập xác định:
Hàm số y = f(x) = x2 - 4x + 3 là một hàm số bậc hai. Do đó, tập xác định của hàm số là D = R.
2. Tập giá trị:
Hàm số có dạng y = x2 - 4x + 3, với a = 1 > 0. Do đó, hàm số có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol.
Hoành độ đỉnh: x = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = f(2) = 22 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
Vậy, tập giá trị của hàm số là T = [-1, +∞).
IV. Kết luận
Tập xác định của hàm số y = f(x) = x2 - 4x + 3 là D = R. Tập giá trị của hàm số là T = [-1, +∞).
V. Mở rộng và Bài tập tương tự
Để hiểu sâu hơn về hàm số bậc hai và các bài toán liên quan, bạn có thể tham khảo các bài tập sau:
- Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số y = -2x2 + 6x - 1.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x2 - 2x + 5.
- Vẽ đồ thị của hàm số y = x2 + 4x + 4.
VI. Lưu ý khi giải bài tập về hàm số
Khi giải các bài tập về hàm số, bạn cần chú ý:
- Xác định đúng dạng của hàm số (bậc nhất, bậc hai, mũ, logarit, lượng giác,...).
- Nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm số (tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị,...).
- Sử dụng các công thức và định lý liên quan một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Montoan.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Tập xác định | Tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa. |
| Tập giá trị | Tập hợp tất cả các giá trị của y mà hàm số có thể nhận được. |
