Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc - SGK Toán 11 Nâng cao

Bài 4 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc nghiên cứu điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, và các bài toán liên quan đến hình chóp, hình trụ, hình cầu.

1. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°. Để xác định hai mặt phẳng vuông góc, ta cần tìm một vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vector pháp tuyến của chúng bằng 0.

Định lý: (P) ⊥ (Q) ⇔ n_P . n_Q = 0

Trong đó:

• (P) và (Q) là hai mặt phẳng
• n_P và n_Q là vector pháp tuyến của (P) và (Q) tương ứng

2. Các tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

Khi hai mặt phẳng vuông góc, chúng có những tính chất đặc biệt:

• Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì nó cũng vuông góc với mặt phẳng (P).
• Nếu một mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (R) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (R).

3. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y - z + 1 = 0 và (Q): 2x - y + z - 2 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.

Giải:

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n_P = (1, 2, -1).

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n_Q = (2, -1, 1).

Tích vô hướng của hai vector pháp tuyến là:

n_P . n_Q = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(1) = 2 - 2 - 1 = -1 ≠ 0

Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không vuông góc với nhau.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng (SAD) ⊥ (SBC).

Giải:

Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với AD và BC.

Xét mặt phẳng (SAD) và (SBC). Ta có:

AD ⊥ SA và BC ⊥ SA. Do đó, SA là đường vuông góc chung của AD và BC.

Vậy (SAD) ⊥ (SBC).

4. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

• Xác định điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.
• Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
• Tìm góc giữa hai mặt phẳng.
• Ứng dụng kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc để giải các bài toán hình học không gian.

5. Kết luận

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc là một bài học quan trọng trong chương trình Hình học lớp 11 nâng cao. Việc nắm vững kiến thức về điều kiện, tính chất và ứng dụng của hai mặt phẳng vuông góc sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán hình học không gian phức tạp. Hãy luyện tập thường xuyên và đừng ngần ngại tìm kiếm sự giúp đỡ khi gặp khó khăn.