Câu 8 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Bài Tập Hình Học 11 Nâng Cao - Câu 8 Trang 126
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Câu 8 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao tại montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, cập nhật và phù hợp với chương trình học hiện hành.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
Đề bài
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 .\)
a. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD).
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
d. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện.
e. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P).
Lời giải chi tiết
Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD).
a. Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH.
SAC là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(SH = a\sqrt 2 .{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)
b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có: d(AB ; (SCD)) = d(E; (SCD)) = EK
(EK là đường cao của tam giác SEF).
\(EK = {{EF.SH} \over {SF}} = {{a.{{a\sqrt 6 } \over 2}} \over {\sqrt {{{6{a^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{a\sqrt 6 } \over {\sqrt 7 }} = {{a\sqrt {42} } \over 7}\)
c. Vì AB và SC chéo nhau, AB // mp(SCD) nên d(AB ; SC) = d(AB ; (SCD)) = \({{a\sqrt {42} } \over 7}\)
d.
Gọi C1 là trung điểm của SC, do SAC là tam giác đều nên AC1 ⊥ SC. Mặt khác, BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặt phẳng chứa AC1 và song song với BD. Kí hiệu H1 là giao điểm của AC1 và SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B1D1, trong đó B1D1 đi qua H1 và song song với BD. Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB1C1D1.
Ta có: BD ⊥ (SAC), B1D1 // BD
Nên B1D1 ⊥ (SAC), suy ra B1D1 ⊥ AC1.
Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\)
\(A{C_1} = {{a\sqrt 6 } \over 2},{B_1}{D_1} = {2 \over 3}BD\) (vì H1 là trọng tâm tam giác SAC)
Vì vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 2}.{2 \over 3}a\sqrt 2 = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
e. Trong mp(SAC), kẻ HI song song với CC1 cắt AC1 tại I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P).
Ta lấy điểm J sao cho BHIJ là hình bình hành thì BJ ⊥ (P), từ đó \(\widehat {BAJ}\) là góc giữa BA và mp(P).
\(\sin \widehat {BAJ} = {{BJ} \over {BA}} = {{HI} \over {BA}} = {{{1 \over 2}C{C_1}} \over {BA}}\)
\(= {{{1 \over 4}SC} \over {BA}} = {{{1 \over 4}a\sqrt 2 } \over a} = {{\sqrt 2 } \over 4}\)
Vậy góc giữa BA và mp(P) là α mà \(\sin \alpha = {{\sqrt 2 } \over 4},0^\circ < \alpha < 90^\circ .\)
Câu 8 Trang 126 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải
Câu 8 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ và ứng dụng của vectơ trong hình học không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản và phương pháp giải quyết bài toán vectơ.
I. Đề Bài Câu 8 Trang 126 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)
II. Phân Tích Bài Toán
Để giải bài toán này, chúng ta cần:
- Xác định các vectơ liên quan đến bài toán, ví dụ: vectơ SC, vectơ AC, vectơ SA.
- Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin(θ) = |(a.n)| / (||a|| * ||n||), trong đó a là vectơ chỉ phương của đường thẳng, n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Áp dụng các định lý và tính chất hình học để tìm mối liên hệ giữa các vectơ.
III. Lời Giải Chi Tiết
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước giải, công thức sử dụng và giải thích rõ ràng từng bước. Ví dụ:
- Chọn hệ tọa độ OABCD với A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a).
- Tìm tọa độ các vectơ: SC = (a, a, -a), AC = (a, a, 0).
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD): n = (0, 0, 1).
- Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng công thức sin(θ) = |SC.n| / (||SC|| * ||n||).
- Kết luận: Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là ...
)
IV. Các Dạng Bài Tập Tương Tự
Ngoài Câu 8 trang 126, các em có thể tham khảo các dạng bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng giải toán vectơ:
- Bài tập tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Bài tập xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
V. Mở Rộng và Ứng Dụng
Kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính,... Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em có nền tảng vững chắc để học tập và làm việc trong tương lai.
VI. Luyện Tập Thêm
Để củng cố kiến thức, các em nên tự giải thêm các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. montoan.com.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều bài giải và tài liệu học tập hữu ích khác. Chúc các em học tập tốt!
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Vectơ | Một đoạn thẳng có hướng. |
| Phép cộng vectơ | Quy tắc hình bình hành. |
| Tích vô hướng | Đo góc giữa hai vectơ. |
| Bảng tóm tắt các khái niệm quan trọng. | |
