Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học là một công cụ mạnh mẽ để chứng minh các mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên. Bài học này sẽ giới thiệu chi tiết về phương pháp này, bao gồm các bước thực hiện và các ví dụ minh họa.

1. Khái niệm về phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh được sử dụng để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n. Phương pháp này bao gồm hai bước:

Bước cơ sở: Chứng minh rằng mệnh đề P(n) đúng với n = 1 (hoặc một số tự nhiên khác).
Bước quy nạp: Giả sử rằng mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên k bất kỳ (gọi là giả thiết quy nạp). Chứng minh rằng mệnh đề P(n) cũng đúng với n = k+1.

Nếu cả hai bước trên được chứng minh, thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n.

2. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 với mọi số tự nhiên n.

Bước cơ sở: Với n = 1, ta có 1 = 1(1+1)/2 = 1. Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
Bước quy nạp: Giả sử rằng 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2. Ta cần chứng minh rằng 1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = (k+1)(k+2)/2.

Ta có:

1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k(k+1) + 2(k+1))/2 = (k+1)(k+2)/2.

Vậy mệnh đề đúng với n = k+1.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng n³ - n chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Bước cơ sở: Với n = 1, ta có 1³ - 1 = 0, chia hết cho 3. Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
Bước quy nạp: Giả sử rằng k³ - k chia hết cho 3. Ta cần chứng minh rằng (k+1)³ - (k+1) chia hết cho 3.

Ta có:

(k+1)³ - (k+1) = k³ + 3k² + 3k + 1 - k - 1 = k³ - k + 3k² + 3k = (k³ - k) + 3(k² + k).

Vì k³ - k chia hết cho 3 và 3(k² + k) chia hết cho 3, nên (k+1)³ - (k+1) chia hết cho 3.

Vậy mệnh đề đúng với n = k+1.

3. Lưu ý khi sử dụng phương pháp quy nạp toán học

Bước cơ sở là rất quan trọng, nếu không chứng minh được bước cơ sở thì toàn bộ chứng minh sẽ không hợp lệ.
Giả thiết quy nạp phải được sử dụng một cách chính xác trong bước quy nạp.
Cần kiểm tra kỹ các bước biến đổi đại số để đảm bảo tính đúng đắn của chứng minh.