Bài 1. Khái niệm đạo hàm

Bài 1. Khái niệm đạo hàm - SGK Toán 11 Nâng cao

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài học này sẽ giới thiệu cho bạn về khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm, cũng như các quy tắc tính đạo hàm cơ bản.

1. Giới thiệu chung về đạo hàm

Trong toán học, đạo hàm của một hàm số f(x) tại một điểm x₀ được định nghĩa là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0. Ký hiệu đạo hàm của f(x) tại x₀ là f'(x₀) hoặc df/dx.

Công thức tính đạo hàm:

f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại một điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm đó. Điều này có nghĩa là đạo hàm cho chúng ta biết độ dốc của đường cong tại một điểm cụ thể.

3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Trong vật lý, đạo hàm thường được sử dụng để biểu diễn vận tốc, gia tốc và các đại lượng liên quan đến sự thay đổi của các đại lượng vật lý theo thời gian.

• Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian.
• Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian.

4. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản

Để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp, chúng ta cần sử dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, bao gồm:

1. Đạo hàm của hằng số: (c)' = 0
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
3. Đạo hàm của tổng và hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
4. Đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'
5. Đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v²
6. Đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x² + 3x - 2

Giải:

f'(x) = (x²)' + (3x)' - (2)' = 2x + 3 - 0 = 2x + 3

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x)

Giải:

f'(x) = cos(x)

6. Bài tập vận dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về khái niệm đạo hàm:

• Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 5x³ - 2x + 1
• Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cos(x) + e^x
• Bài 3: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x² tại điểm x = 2

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm đạo hàm và các ứng dụng của nó. Chúc bạn học tập tốt!