Bài 5: Khoảng cách

Bài 5: Khoảng cách trong SGK Toán 11 Nâng cao là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm và công thức liên quan đến khoảng cách giữa các đối tượng hình học trong không gian ba chiều.

I. Lý thuyết cơ bản về khoảng cách

Trong không gian, khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó. Tuy nhiên, việc tính khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng, hoặc giữa hai đường thẳng phức tạp hơn nhiều và đòi hỏi kiến thức về vectơ và các phép chiếu.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách d từ M đến (P) được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Cho hai đường thẳng song song d₁ và d₂. Chọn một điểm M thuộc d₁. Khoảng cách giữa d₁ và d₂ là khoảng cách từ M đến d₂.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Đây là dạng bài tập cơ bản, yêu cầu học sinh áp dụng trực tiếp công thức.
Bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Học sinh cần chọn điểm và sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Bài tập tìm điều kiện để một điểm nằm trên mặt phẳng: Sử dụng công thức khoảng cách để kiểm tra xem khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có bằng 0 hay không.
Bài tập ứng dụng: Các bài tập liên quan đến việc tính khoảng cách trong các bài toán thực tế.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2, 3) đến mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.

Giải:

d = |2(1) - 2 + 3 + 1| / √(2² + (-1)² + 1²) = |4| / √6 = 4/√6 = (4√6)/6 = (2√6)/3

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song d₁: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t và d₂: x = 2 + t, y = 3 + t, z = 4 + t. Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.

Giải:

Chọn điểm M(1, 2, 3) thuộc d₁. Vector chỉ phương của d₁ là v = (1, 1, 1). Phương trình tham số của d₂ là x = 2 + t, y = 3 + t, z = 4 + t. Khoảng cách từ M đến d₂ được tính bằng công thức:

d = |[MA x v]| / |v| (trong đó MA là vector từ M đến một điểm bất kỳ trên d₂)

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về khoảng cách, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.

Việc hiểu rõ lý thuyết và áp dụng thành thạo các công thức là chìa khóa để giải quyết các bài toán về khoảng cách một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!

V. Tổng kết

Bài 5: Khoảng cách là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11 Nâng cao. Việc nắm vững kiến thức về khoảng cách sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán Hình học không gian phức tạp hơn. Hãy dành thời gian ôn tập và luyện tập để đạt kết quả tốt nhất.