Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Câu 2 Trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho hình chóp S.ABCD.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD.
a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \). Điều ngược lại có đúng không ?
b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \)
Lời giải chi tiết
a. Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SD} \cr&\Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} \cr} \)
⇔ ABCD là hình bình hành.
b. Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} \cr& + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {SO} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \,\,\left( * \right) \cr} \)
Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \) suy ra
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \) (do (*))
Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} ,\) ta có (*).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \)
Từ (*) suy ra \(2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 ,\) điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng
Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.
Câu 2 Trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải pháp Chi Tiết
Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các tính chất hình học. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
- Vectơ: Định nghĩa, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực.
- Tích vô hướng của hai vectơ: Công thức tính, ứng dụng để tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc.
- Hệ tọa độ trong không gian: Biểu diễn vectơ bằng tọa độ, các phép toán vectơ trong hệ tọa độ.
Phân tích Đề Bài và Xây Dựng Chiến Lược Giải
Trước khi bắt tay vào giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Sau đó, chúng ta cần phân tích đề bài để tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố hình học và các phép toán vectơ. Dựa trên phân tích đó, chúng ta sẽ xây dựng một chiến lược giải phù hợp.
Lời Giải Chi Tiết Câu 2 Trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
(Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)
Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp.
Ta chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD và trục Oz trùng với đường thẳng SA.
Khi đó, ta có các tọa độ sau:
- A(0; 0; 0)
- B(a; 0; 0)
- C(a; a; 0)
- D(0; a; 0)
- S(0; 0; a)
Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng SC.
Vectơ SC = (a - 0; a - 0; 0 - a) = (a; a; -a)
Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
Mặt phẳng (ABCD) có phương trình z = 0, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là n = (0; 0; 1)
Bước 4: Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Gọi φ là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Ta có:
sin φ = |SC.n| / (||SC|| * ||n||)
SC.n = (a; a; -a).(0; 0; 1) = -a
||SC|| = √(a2 + a2 + (-a)2) = √(3a2) = a√3
||n|| = √(02 + 02 + 12) = 1
sin φ = |-a| / (a√3 * 1) = 1/√3
φ = arcsin(1/√3) ≈ 35.26°
Kết luận: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là khoảng 35.26°.
Các Dạng Bài Tập Tương Tự và Mở Rộng
Ngoài bài toán trên, còn rất nhiều dạng bài tập tương tự liên quan đến việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, tích vô hướng, tích có hướng và các công thức hình học không gian. Một số dạng bài tập mở rộng bao gồm:
- Tính góc giữa hai đường thẳng.
- Tính góc giữa hai mặt phẳng.
- Xác định điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, song song hoặc cắt nhau.
- Xác định điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc, song song hoặc cắt nhau.
Lời Khuyên Khi Giải Bài Tập Hình Học Không Gian
Để giải tốt các bài tập Hình học không gian, bạn cần:
- Nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, tích vô hướng, tích có hướng và các công thức hình học không gian.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.
- Sử dụng hệ tọa độ để biểu diễn các yếu tố hình học và thực hiện các phép toán vectơ.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập Hình học không gian, đặc biệt là Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
