THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho hình chóp S.ABCD.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD.
a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \). Điều ngược lại có đúng không ?
b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \)
Lời giải chi tiết
a. Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SD} \cr&\Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} \cr} \)
⇔ ABCD là hình bình hành.
b. Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} \cr& + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {SO} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \,\,\left( * \right) \cr} \)
Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \) suy ra
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \) (do (*))
Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} ,\) ta có (*).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \)
Từ (*) suy ra \(2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 ,\) điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng
Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.
Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các tính chất hình học. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:
Trước khi bắt tay vào giải bài toán, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Sau đó, chúng ta cần phân tích đề bài để tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố hình học và các phép toán vectơ. Dựa trên phân tích đó, chúng ta sẽ xây dựng một chiến lược giải phù hợp.
(Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)
Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp.
Ta chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD và trục Oz trùng với đường thẳng SA.
Khi đó, ta có các tọa độ sau:
Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng SC.
Vectơ SC = (a - 0; a - 0; 0 - a) = (a; a; -a)
Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
Mặt phẳng (ABCD) có phương trình z = 0, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là n = (0; 0; 1)
Bước 4: Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Gọi φ là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Ta có:
sin φ = |SC.n| / (||SC|| * ||n||)
SC.n = (a; a; -a).(0; 0; 1) = -a
||SC|| = √(a2 + a2 + (-a)2) = √(3a2) = a√3
||n|| = √(02 + 02 + 12) = 1
sin φ = |-a| / (a√3 * 1) = 1/√3
φ = arcsin(1/√3) ≈ 35.26°
Kết luận: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là khoảng 35.26°.
Ngoài bài toán trên, còn rất nhiều dạng bài tập tương tự liên quan đến việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, tích vô hướng, tích có hướng và các công thức hình học không gian. Một số dạng bài tập mở rộng bao gồm:
Để giải tốt các bài tập Hình học không gian, bạn cần:
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập Hình học không gian, đặc biệt là Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
