Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải pháp Chi Tiết

Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình học Hình học không gian lớp 11. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán vectơ như cộng, trừ, nhân với một số thực, và tích vô hướng để giải quyết các vấn đề liên quan đến vị trí tương đối của các điểm, đường thẳng, và mặt phẳng trong không gian.

I. Đề bài Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao

Để bắt đầu, chúng ta cùng xem lại đề bài chính xác của Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao. (Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)).

II. Phân tích Bài Toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần:

• Xác định các yếu tố quan trọng trong không gian: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
• Sử dụng các định nghĩa và tính chất của vectơ để biểu diễn các yếu tố này.
• Vận dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

III. Lời Giải Chi Tiết

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với cạnh AB, trục Oy trùng với cạnh AD, và trục Oz trùng với đường thẳng SA. Khi đó, ta có các tọa độ sau:

• A(0; 0; 0)
• B(a; 0; 0)
• C(a; a; 0)
• D(0; a; 0)
• S(0; 0; a)

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng SC

Vectơ SC = (a - 0; a - 0; 0 - a) = (a; a; -a)

Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)

Mặt phẳng (ABCD) có phương trình z = 0, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n = (0; 0; 1)

Bước 4: Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Ta có:

sin α = |SC.n| / (||SC|| * ||n||)

SC.n = (a; a; -a).(0; 0; 1) = -a

||SC|| = √(a² + a² + (-a)²) = √(3a²) = a√3

||n|| = √(0² + 0² + 1²) = 1

sin α = |-a| / (a√3 * 1) = 1/√3

α = arcsin(1/√3) ≈ 35.26°

Kết luận: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là khoảng 35.26°.

IV. Mở rộng và Bài tập tương tự

Để hiểu sâu hơn về bài toán này, các em có thể thử giải các bài tập tương tự với các thông số khác nhau. Ví dụ:

• Thay đổi độ dài cạnh đáy của hình chóp.
• Thay đổi độ dài cạnh SA.
• Thay đổi vị trí của điểm S so với mặt phẳng (ABCD).

Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán Hình học không gian.

V. Tổng kết

Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ và các phép toán vectơ trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và phân tích kỹ lưỡng trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về bài toán này và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.