Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ bạn trong quá trình học tập môn Toán.
Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng
a. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
b. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
Lời giải chi tiết
a. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).
Ta có:
(PQRS) ∩ (ABC) = PQ
(PQRS) ∩ (ACD) = RS
(ABC) ∩ (ACD) = AC
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Ngược lại, nếu ba đường thẳng PQ, AC, RS hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PQ và RS cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.
b. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).
Ta có:
(PQRS) ∩ (ABD) = PS
(PQRS) ∩ (BCD) = RQ
(ABD) ∩ (BCD) = BD
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Ngược lại, nếu ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PS và RQ cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.
Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải chi tiết
Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh tính vuông góc và các tính chất liên quan.
Nội dung bài toán
Bài toán yêu cầu chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng dựa trên các điều kiện cho trước. Thông thường, các điều kiện này liên quan đến việc đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng, hoặc đường thẳng đó song song với một đường thẳng khác đã chứng minh được vuông góc với mặt phẳng.
Phương pháp giải
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các định lý và tính chất sau:
- Định lý 1: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
- Định lý 2: Nếu một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với hình chiếu của d trên (P) đều vuông góc với d.
- Tính chất: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc với (P) tại A sẽ nằm trong (Q).
Giải chi tiết Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
(Giả sử đề bài cụ thể là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD).)
- Phân tích: Để chứng minh SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ta cần chứng minh SM vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABCD). Ta chọn hai đường thẳng AD và BC.
- Chứng minh:
- Vì ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt đáy nên SA vuông góc với AD.
- Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có SM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD. Do đó, SM = MD = MA.
- Suy ra tam giác SMA cân tại M, do đó góc SMA = góc MAS.
- Vì SA vuông góc với AD và M là trung điểm của CD nên AM vuông góc với CD.
- Xét tam giác SAM, ta có SM vuông góc với AD.
- Tương tự, ta có thể chứng minh SM vuông góc với BC.
- Kết luận: Vì SM vuông góc với AD và BC, mà AD và BC nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Các dạng bài tập tương tự
Ngoài Câu 19 trang 55, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu vận dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Các bài tập này thường có dạng:
- Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
- Tính góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.
- Xác định hình chiếu của một điểm hoặc một đường thẳng lên một mặt phẳng.
Lưu ý khi giải bài tập
Khi giải các bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, bạn cần lưu ý:
- Nắm vững các định lý và tính chất liên quan.
- Vẽ hình chính xác và rõ ràng.
- Phân tích kỹ đề bài để xác định các yếu tố cần thiết.
- Sử dụng các phương pháp chứng minh phù hợp.
Ứng dụng của kiến thức
Kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, và kỹ thuật.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:
- Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với mặt đáy. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
- Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. SA vuông góc với mặt đáy. Chứng minh SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Kết luận
Hy vọng bài giải chi tiết Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn đã giúp bạn hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Chúc bạn học tập tốt!
