Câu 3 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 3 Trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải pháp Chi Tiết

Câu 3 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đặc biệt là tích vô hướng để chứng minh các quan hệ vuông góc. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và định lý cơ bản.

I. Tóm tắt lý thuyết cần thiết

Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức quan trọng:

• Vectơ: Định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực).
• Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa, công thức tính, ứng dụng để tính góc giữa hai vectơ và chứng minh quan hệ vuông góc.
• Quan hệ vuông góc: Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

II. Đề bài Câu 3 Trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao

(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng SM vuông góc với AC.)

III. Lời giải chi tiết

Để chứng minh SM vuông góc với AC, chúng ta cần chứng minh tích vô hướng của hai vectơ SM và AC bằng 0. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

1. Chọn hệ tọa độ: Chọn hệ tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A, trục Ox trùng với AB, trục Oy trùng với AD và trục Oz hướng lên trên.
2. Tìm tọa độ các điểm: Xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, M, S dựa trên hệ tọa độ đã chọn.
3. Tính các vectơ: Tính các vectơ SM và AC theo tọa độ của các điểm tương ứng.
4. Tính tích vô hướng: Tính tích vô hướng của hai vectơ SM và AC.
5. Kết luận: Nếu tích vô hướng bằng 0, thì SM vuông góc với AC.

Ví dụ minh họa:

Giả sử A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), M(a/2; a; 0) và S(a/2; a/2; h) (với h là chiều cao của hình chóp). Khi đó:

• SM = (0; -a/2; h)
• AC = (a; a; 0)
• SM.AC = 0*a + (-a/2)*a + h*0 = -a²/2

Trong trường hợp này, tích vô hướng không bằng 0, do đó SM không vuông góc với AC. Cần kiểm tra lại giả thiết hoặc cách chọn hệ tọa độ.

IV. Các dạng bài tập tương tự

Ngoài Câu 3 trang 77, còn rất nhiều bài tập tương tự trong SGK Hình học 11 Nâng cao và các đề thi. Các bài tập này thường yêu cầu:

• Chứng minh quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Tính góc giữa hai đường thẳng.
• Xác định điều kiện để hai đường thẳng vuông góc.

V. Mẹo giải nhanh

Để giải nhanh các bài toán về quan hệ vuông góc, bạn nên:

• Nắm vững các định lý và công thức liên quan đến tích vô hướng.
• Sử dụng hệ tọa độ một cách linh hoạt.
• Vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.

VI. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập sau:

• Bài 4 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao
• Bài 5 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao
• Các bài tập trong sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Hy vọng với lời giải chi tiết và những kiến thức bổ ích trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Câu 3 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao. Chúc bạn học tốt!