Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 4 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc nghiên cứu điều kiện để hai mặt phẳng song song, các tính chất của hai mặt phẳng song song và ứng dụng của chúng trong giải toán không gian. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng cho việc học tập các chương tiếp theo của môn Hình học.

I. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, cần thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

Điều kiện 1: (P) và (Q) có hai vectơ pháp tuyến song song với nhau. Tức là, tồn tại một số k khác 0 sao cho \vec{n_P} = k\vec{n_Q}.
Điều kiện 2: (P) và (Q) có một điểm chung và các đường thẳng đi qua điểm chung đó, nằm trong (P) và (Q) song song với nhau.
Điều kiện 3: (P) và (Q) không có điểm chung và (P) chứa một đường thẳng song song với (Q).

II. Tính chất của hai mặt phẳng song song

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) song song, ta có các tính chất sau:

Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng thì nó cũng song song với mặt phẳng còn lại.
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một mặt phẳng khác thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó song song với đường thẳng đã cho.

III. Ứng dụng của hai mặt phẳng song song trong giải toán

Kiến thức về hai mặt phẳng song song được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến không gian, đặc biệt là:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Chứng minh các mối quan hệ song song trong không gian.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + y - z + 1 = 0 và (Q): 4x + 2y - 2z + 3 = 0. Chứng minh rằng (P) và (Q) song song.

Giải: Vectơ pháp tuyến của (P) là \vec{n_P} = (2, 1, -1). Vectơ pháp tuyến của (Q) là \vec{n_Q} = (4, 2, -2). Ta thấy \vec{n_Q} = 2\vec{n_P}, do đó \vec{n_P} và \vec{n_Q} song song. Vậy (P) và (Q) song song.

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về hai mặt phẳng song song, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Cho hai mặt phẳng (P): x - 2y + z - 3 = 0 và (Q): 2x - 4y + 2z - 1 = 0. Chứng minh rằng (P) và (Q) song song.
Cho hai mặt phẳng (P): 3x + y - z + 2 = 0 và (Q): x - y + 2z - 1 = 0. Tìm điều kiện để (P) và (Q) song song.

VI. Kết luận

Bài 4: Hai mặt phẳng song song là một phần quan trọng trong chương trình Hình học lớp 11 Nâng cao. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các vấn đề liên quan đến không gian.