Bài 2. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Bài 2 trong chương 4 của sách Toán 9 tập 1, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc khám phá và hiểu rõ các hệ thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác vuông. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp hơn trong chương trình học và các kỳ thi.

1. Các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác vuông

Trước khi đi sâu vào hệ thức giữa cạnh và góc, chúng ta cần ôn lại các hệ thức lượng cơ bản đã học ở các lớp trước. Trong một tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² (Định lý Pytago)
AB² = BC.BD (Hệ thức giữa cạnh và hình chiếu)
AC² = BC.CD (Hệ thức giữa cạnh và hình chiếu)
AH² = BD.CD (Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu)
1/AH² = 1/AB² + 1/AC² (Hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông)

2. Hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có:

sin B = AC/BC (sin góc B bằng cạnh đối chia cạnh huyền)
cos B = AB/BC (cos góc B bằng cạnh kề chia cạnh huyền)
tan B = AC/AB (tan góc B bằng cạnh đối chia cạnh kề)
cot B = AB/AC (cot góc B bằng cạnh kề chia cạnh đối)

Tương tự, ta cũng có các hệ thức tương ứng cho góc C.

3. Ứng dụng của các hệ thức lượng

Các hệ thức lượng này có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán. Chúng ta có thể sử dụng chúng để:

Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông khi biết một cạnh và một góc nhọn.
Tính các góc nhọn của tam giác vuông khi biết độ dài các cạnh.
Giải các bài toán thực tế liên quan đến tam giác vuông, ví dụ như tính chiều cao của một tòa nhà, khoảng cách giữa hai điểm,...

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính BC, sin B, cos B, tan B.

Giải:

BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm
sin B = AC/BC = 4/5 = 0.8
cos B = AB/BC = 3/5 = 0.6
tan B = AC/AB = 4/3 ≈ 1.33

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 60^o, BC = 10cm. Tính AB, AC.

Giải:

AB = BC.cos B = 10.cos 60^o = 10.0.5 = 5cm
AC = BC.sin B = 10.sin 60^o = 10.(√3/2) = 5√3 cm

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy làm các bài tập sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, góc B = 45^o. Tính AC, BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 6cm, BC = 10cm. Tính AB, sin C, cos C.
Một cột điện cao 10m, bóng của cột trên mặt đất dài 5m. Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất.

6. Kết luận

Bài 2. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 9. Việc nắm vững các hệ thức lượng và ứng dụng của chúng sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!