Bài 2. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 2. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông - SBT Toán 9 - Cánh diều

I. Lý thuyết cơ bản

Trong tam giác vuông, các cạnh và góc có mối quan hệ mật thiết với nhau thông qua các hệ thức lượng. Việc nắm vững các hệ thức này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông.

1. Các định nghĩa và ký hiệu

• Tam giác vuông: Tam giác có một góc bằng 90 độ.
• Cạnh huyền: Cạnh đối diện với góc vuông.
• Cạnh góc vuông: Hai cạnh kề với góc vuông.
• Góc nhọn: Góc có số đo nhỏ hơn 90 độ.

2. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

a) Hệ thức giữa cạnh và góc:

• sin(α) = đối/huyền
• cos(α) = kề/huyền
• tan(α) = đối/kề
• cot(α) = kề/đối

Trong đó:

• α là góc nhọn trong tam giác vuông.
• đối là cạnh đối diện với góc α.
• kề là cạnh kề với góc α.
• huyền là cạnh huyền của tam giác vuông.

b) Các hệ thức khác:

• a² + b² = c² (Định lý Pitago)
• ab = ch (Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu của các cạnh góc vuông)
• a² = ch, b² = hk (Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền)
• h² = hk (Hệ thức giữa đường cao và các đoạn thẳng trên cạnh huyền)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính BC, sinB, cosB, tanB.

Giải:

• Áp dụng định lý Pitago: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm
• sinB = AC/BC = 4/5
• cosB = AB/BC = 3/5
• tanB = AC/AB = 4/3

Ví dụ 2: Cho tam giác PQR vuông tại Q, PQ = 5cm, QR = 12cm. Tính PR, sinP, cosP, tanP.

Giải:

• Áp dụng định lý Pitago: PR = √(PQ² + QR²) = √(5² + 12²) = 13cm
• sinP = QR/PR = 12/13
• cosP = PQ/PR = 5/13
• tanP = QR/PQ = 12/5

III. Bài tập luyện tập

1. Cho tam giác DEF vuông tại D, DE = 6cm, DF = 8cm. Tính EF, sinE, cosE, tanE.
2. Cho tam giác GHI vuông tại H, HI = 7cm, GI = 25cm. Tính GH, sinG, cosG, tanG.
3. Một cột điện cao 8m, bóng của cột trên mặt đất dài 6m. Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất.
4. Một con diều bay cao 50m, dây diều dài 60m. Tính góc tạo bởi dây diều và phương thẳng đứng.

IV. Kết luận

Bài học hôm nay đã giúp các em hiểu rõ hơn về các hệ thức lượng trong tam giác vuông. Việc nắm vững các hệ thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!