Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức

Bài 23 trong sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất của hình học không gian: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

I. Khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Phương pháp 1: Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
• Phương pháp 2: Sử dụng định lý về đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
• Phương pháp 3: Sử dụng các tính chất của hình chiếu vuông góc.

III. Các bài tập thường gặp và phương pháp giải

Các bài tập liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thường yêu cầu:

• Xác định điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
• Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
• Tính độ dài đường vuông góc và đường xiên.
• Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Để giải các bài tập này, cần nắm vững các khái niệm, định lý và tính chất liên quan. Đồng thời, cần rèn luyện kỹ năng vẽ hình và phân tích bài toán một cách logic.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

1. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
2. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC.
3. Do đó, AC ⊥ (SAC). Suy ra SC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAC).
4. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SC và hình chiếu của nó trên (ABCD), tức là góc SCO.
5. Trong tam giác SCO, ta có SO = $\frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ và SA = a.
6. Suy ra tan SCO = $\frac{SA}{SO} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$.
7. Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là arctan($\sqrt{2}$).

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để củng cố kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB).
• Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng AC ⊥ (A'B'C'D').
• Bài 3: Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) trong hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và AB = a, SA = a.

Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!