Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế - SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo

I. Tóm tắt lý thuyết

Bài 3 trong SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giải tam giác, tức là xác định các yếu tố còn thiếu của một tam giác khi biết một số yếu tố nhất định. Các yếu tố của tam giác bao gồm ba cạnh (a, b, c) và ba góc (A, B, C). Việc giải tam giác thường dựa trên các định lý và công thức lượng giác quan trọng.

1. Định lý sin:

Trong tam giác ABC, ta có: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

2. Định lý cosin:

Trong tam giác ABC, ta có:

a² = b² + c² - 2bc.cosA
b² = a² + c² - 2ac.cosB
c² = a² + b² - 2ab.cosC

3. Diện tích tam giác:

Diện tích tam giác ABC có thể được tính theo nhiều công thức:

S = (1/2)ab.sinC
S = (1/2)bc.sinA
S = (1/2)ac.sinB
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] (Công thức Heron, với s là nửa chu vi: s = (a+b+c)/2)

II. Các trường hợp giải tam giác

Có một số trường hợp giải tam giác phổ biến:

1. Biết hai cạnh và góc xen giữa (cạnh - góc - cạnh):

Nếu biết hai cạnh b và c, và góc A xen giữa chúng, ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm cạnh a, sau đó sử dụng định lý sin để tìm các góc B và C.

2. Biết hai góc và một cạnh (góc - cạnh - góc):

Nếu biết hai góc A và B, và cạnh a, ta có thể tìm góc C (C = 180° - A - B), sau đó sử dụng định lý sin để tìm các cạnh b và c.

3. Biết một cạnh và hai góc (góc - góc - cạnh):

Tương tự như trường hợp trên, ta tìm góc còn lại và sử dụng định lý sin.

III. Ứng dụng thực tế

Việc giải tam giác có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như:

Đo đạc và khảo sát địa hình: Xác định chiều cao của các tòa nhà, ngọn núi, hoặc khoảng cách giữa hai điểm trên mặt đất.
Hàng hải và hàng không: Tính toán đường đi, xác định vị trí của tàu thuyền và máy bay.
Kiến trúc và xây dựng: Tính toán kích thước và góc độ của các cấu trúc xây dựng.
Địa lý và thiên văn học: Tính toán khoảng cách giữa các thiên thể, hoặc xác định vị trí của các địa điểm trên bản đồ.

Ví dụ: Một người đứng ở một vị trí cách chân một ngọn núi 100m. Góc nâng từ vị trí đó đến đỉnh núi là 30°. Tính chiều cao của ngọn núi (coi ngọn núi thẳng đứng).

Giải:

Gọi h là chiều cao của ngọn núi. Ta có tan(30°) = h/100. Suy ra h = 100 * tan(30°) ≈ 57.74m.