Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Giải pháp chi tiết

Bài 3 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc vận dụng kiến thức về tích phân để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Cụ thể, các em sẽ được làm quen với việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và trục tọa độ, cũng như tính thể tích của các vật thể tròn xoay khi quay một miền phẳng quanh một trục.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

1. Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox, đường thẳng x = a và x = b (với a < b) được tính bằng công thức: S = ∫_a^b |f(x)| dx.
2. Thể tích vật thể tròn xoay:
   • Phương pháp đĩa: Nếu quay miền phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox, x = a và x = b quanh trục Ox, thể tích vật thể tròn xoay được tính bằng: V = π ∫_a^b [f(x)]² dx.
   • Phương pháp vỏ: Nếu quay miền phẳng giới hạn bởi x = g(y), trục Oy, y = c và y = d quanh trục Oy, thể tích vật thể tròn xoay được tính bằng: V = 2π ∫_c^d g(y) dy.

II. Giải bài tập SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3

Dưới đây là phần giải chi tiết các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Chúng tôi sẽ trình bày từng bước giải một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các chú thích quan trọng để giúp các em hiểu sâu sắc hơn về phương pháp giải.

Bài 3.1

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = 4.

Lời giải:

Bước 1: Xác định giao điểm của hai đường cong: x² = 4 => x = ±2.

Bước 2: Diện tích hình phẳng S = ∫_-2² (4 - x²) dx = [4x - (x³/3)]_-2² = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3.

Bài 3.2

Đề bài: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và x = 4 quanh trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Sử dụng phương pháp đĩa: V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = π (16/2) = 8π.

III. Mẹo giải bài tập hiệu quả

• Vẽ hình: Luôn vẽ hình minh họa để hình dung rõ ràng miền phẳng hoặc vật thể tròn xoay.
• Xác định giới hạn tích phân: Xác định chính xác các giới hạn tích phân a và b.
• Chọn phương pháp tích phân phù hợp: Tùy thuộc vào dạng bài toán, hãy chọn phương pháp đĩa hoặc phương pháp vỏ phù hợp.
• Kiểm tra kết quả: Sau khi tính toán, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sinx và trục Ox trên đoạn [0, π].
• Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền phẳng giới hạn bởi y = e^x, trục Oy và y = e² quanh trục Oy.

Montoan.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập về ứng dụng hình học của tích phân trong SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!