Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong chương trình Hình học lớp 10, đặc biệt là trong chương Vectơ. Nó là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ, độ dài vectơ và các ứng dụng trong hình học phẳng.

1. Định nghĩa tích vô hướng

Cho hai vectơ a và b. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a.b, được định nghĩa bởi:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

• |a| và |b| lần lượt là độ dài của vectơ a và b.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b.

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxy, cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Tích vô hướng của a và b được tính bởi:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂

3. Tính chất của tích vô hướng

• a.b = b.a (Tính giao hoán)
• a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng)
• k(a.b) = (ka).b = a.(kb) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• a.a = |a|²

4. Ứng dụng của tích vô hướng

• Tính góc giữa hai vectơ:cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi a.b = 0.
• Tính độ dài hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Độ dài hình chiếu của a lên b là |a.b| / |b|

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (2; 3) và b = (-1; 4). Tính a.b.

Giải:a.b = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10

Ví dụ 2: Cho a = (1; -1) và b = (2; 2). Tính góc θ giữa hai vectơ a và b.

Giải:a.b = (1)(2) + (-1)(2) = 0. Do đó, cos(θ) = 0, suy ra θ = 90^o. Vậy hai vectơ a và b vuông góc.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tích vô hướng, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập trong SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo sẽ giúp các em củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về tích vô hướng của hai vectơ. Chúc các em học tập tốt!