THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3 trang 101 sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải dễ hiểu, kèm theo giải thích chi tiết để học sinh nắm vững kiến thức.
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM và BN cắt nhau tại I như hình 5.
Đề bài
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính \(AB = 2R\). Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM và BN cắt nhau tại I như hình 5.
a) Chứng minh: \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA} \)
b) Tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} \) theo R
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \left| {\overrightarrow {AI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AM} } \right)\\ = AI.AM.\cos 0^\circ = AI.AM\end{array}\) (*)
Mặt khác \(AM = AB.\cos \widehat {MAB}\), thay vào (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = AI.AM = AI.AB.\cos \widehat {MAB}\\ = \left| {\overrightarrow {AI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \end{array}\) (đpcm)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \left| {\overrightarrow {BI} } \right|.\left| {\overrightarrow {BN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {BN} } \right)\\ = BI.BN.\cos 0^\circ = BI.BN\end{array}\) (**)
Mặt khác \(BN = BA.\cos \widehat {NBA}\), thay vào (**) ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = BI.BN = BI.BA.\cos \widehat {NBA}\\ = \left| {\overrightarrow {BI} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \end{array}\) (đpcm)
b) Từ kết quả của câu a) ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2}\\ = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = 4{R^2}\)
Bài 3 trang 101 sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về vectơ trong mặt phẳng. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về phép cộng, phép trừ vectơ, tích của một số với vectơ, và các tính chất của các phép toán này để giải quyết các bài toán cụ thể.
Bài 3 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Đề bài: Cho hai vectơ a và b. Tính a + b.
Lời giải: Để tính tổng của hai vectơ, ta thực hiện phép cộng các thành phần tương ứng của chúng. Nếu a = (x1, y1) và b = (x2, y2) thì a + b = (x1 + x2, y1 + y2). Ví dụ, nếu a = (2, 3) và b = (-1, 1) thì a + b = (1, 4).
Đề bài: Cho vectơ a = (x, y). Tính 3a.
Lời giải: Để tính tích của một số với vectơ, ta nhân số đó với mỗi thành phần của vectơ. Nếu a = (x, y) và k là một số thực thì ka = (kx, ky). Ví dụ, nếu a = (2, 3) thì 3a = (6, 9).
Đề bài: Chứng minh rằng a - b = a + (-b).
Lời giải: Để chứng minh đẳng thức vectơ, ta sử dụng định nghĩa của phép trừ vectơ. Theo định nghĩa, a - b = a + (-b), trong đó -b là vectơ đối của b. Do đó, đẳng thức a - b = a + (-b) luôn đúng.
Vectơ là một khái niệm quan trọng trong toán học, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như hình học, vật lý, và kỹ thuật. Trong hình học, vectơ được sử dụng để biểu diễn hướng và độ dài của một đoạn thẳng. Trong vật lý, vectơ được sử dụng để biểu diễn các đại lượng vật lý có cả hướng và độ lớn, như vận tốc, lực, và gia tốc. Trong kỹ thuật, vectơ được sử dụng để mô tả các chuyển động và lực tác dụng lên các vật thể.
Bài 3 trang 101 sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về vectơ.
