Bài 2. Định lí côsin và định lí sin

Bài 2. Định lí côsin và định lí sin - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết

I. Định lí côsin

Định lí côsin là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc ba cạnh. Định lí được phát biểu như sau:

1. Trong mọi tam giác ABC, ta có:
2. a² = b² + c² - 2bc.cosA
3. b² = a² + c² - 2ac.cosB
4. c² = a² + b² - 2ab.cosC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = c = 5, BC = a = 7, và góc B = 60^o. Tính độ dài cạnh AC = b.

Giải:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

b² = a² + c² - 2ac.cosB = 7² + 5² - 2.7.5.cos60^o = 49 + 25 - 70.0.5 = 74 - 35 = 39

Vậy b = √39

II. Định lí sin

Định lí sin là một công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác khi biết một cạnh và hai góc, hoặc hai cạnh và góc đối diện.

Định lí được phát biểu như sau:

1. Trong mọi tam giác ABC, ta có:
2. a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = c = 8, góc A = 45^o, góc B = 60^o. Tính độ dài cạnh BC = a.

Giải:

Ta có góc C = 180^o - A - B = 180^o - 45^o - 60^o = 75^o

Áp dụng định lí sin, ta có:

a/sinA = c/sinC => a = c.sinA/sinC = 8.sin45^o/sin75^o = 8.(√2/2)/( (√6 + √2)/4) = 8.(√2/2).4/(√6 + √2) = 16√2/(√6 + √2) = 16√2(√6 - √2)/(6-2) = 16√12 - 32 / 4 = 16.2√3 - 8 = 32√3 - 8

III. Mối quan hệ giữa định lí côsin và định lí sin

Định lí côsin và định lí sin là hai công cụ bổ trợ cho nhau trong việc giải quyết các bài toán về tam giác. Tùy thuộc vào dữ kiện của bài toán, ta có thể sử dụng định lí côsin hoặc định lí sin một cách phù hợp.

IV. Bài tập vận dụng

• Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 60^o. Tính độ dài cạnh BC.
• Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 7, góc B = 45^o, góc C = 75^o. Tính độ dài cạnh AB.

Kết luận:

Bài học hôm nay đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng về định lí côsin và định lí sin. Hy vọng rằng các em sẽ nắm vững kiến thức này và áp dụng thành công vào việc giải quyết các bài toán thực tế.