Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là khi nghiên cứu về bất phương trình bậc hai. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến bất phương trình một cách hiệu quả.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Điều kiện xác định dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức delta (Δ) của phương trình ax² + bx + c = 0. Biệt thức được tính theo công thức: Δ = b² - 4ac.

3. Các trường hợp xét dấu của tam thức bậc hai

• Trường hợp 1: a > 0 và Δ < 0: Tam thức f(x) luôn dương với mọi x.
• Trường hợp 2: a > 0 và Δ = 0: Tam thức f(x) dương hoặc bằng 0 với mọi x.
• Trường hợp 3: a > 0 và Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu tại hai nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Cụ thể:
  • f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
  • f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂
• Trường hợp 4: a < 0 và Δ < 0: Tam thức f(x) luôn âm với mọi x.
• Trường hợp 5: a < 0 và Δ = 0: Tam thức f(x) âm hoặc bằng 0 với mọi x.
• Trường hợp 6: a < 0 và Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu tại hai nghiệm x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Cụ thể:
  • f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
  • f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂

4. Ví dụ minh họa

Xét tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, c = 2. Tính delta: Δ = (-5)² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1/2 và x₂ = 2. Do a = 2 > 0, nên:

• f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2
• f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2

5. Bài tập áp dụng

Hãy xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

1. f(x) = x² + 4x + 3
2. f(x) = -x² + 2x - 1
3. f(x) = 3x² - 7x + 4

6. Lưu ý quan trọng

Khi xét dấu của tam thức bậc hai, cần chú ý đến hệ số a và biệt thức delta. Việc xác định đúng các trường hợp sẽ giúp bạn đưa ra kết luận chính xác về dấu của tam thức.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan.