Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 2 trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào ba khái niệm quan trọng trong đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán đếm phức tạp trong toán học và các lĩnh vực ứng dụng khác.

1. Hoán vị (Permutation)

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính bằng công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

• n = 3 (số cuốn sách)
• P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• Vậy có 6 cách sắp xếp khác nhau.

2. Chỉnh hợp (Combination)

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử. Số chỉnh hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính bằng công thức:

A_n^k = n! / (n - k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp 5 học sinh để làm nhiệm vụ?

• n = 5 (số học sinh trong lớp)
• k = 2 (số học sinh được chọn)
• A₅² = 5! / (5 - 2)! = 5! / 3! = 5 x 4 = 20
• Vậy có 20 cách chọn và sắp xếp khác nhau.

3. Tổ hợp (Combination)

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp của n phần tử lấy k phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính bằng công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n - k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp 5 học sinh để thành lập một nhóm?

• n = 5 (số học sinh trong lớp)
• k = 3 (số học sinh được chọn)
• C₅³ = 5! / (3! * 2!) = (5 x 4 x 3!) / (3! x 2 x 1) = 10
• Vậy có 10 cách chọn khác nhau.

4. Phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp nằm ở việc có quan tâm đến thứ tự hay không:

• Hoán vị: Quan tâm đến thứ tự.
• Chỉnh hợp: Quan tâm đến thứ tự.
• Tổ hợp: Không quan tâm đến thứ tự.

5. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Huấn luyện viên muốn chọn 5 cầu thủ để đá chính. Có bao nhiêu cách chọn khác nhau?

Giải: Đây là bài toán tổ hợp vì thứ tự chọn cầu thủ không quan trọng. Ta có:

C₁₁⁵ = 11! / (5! * 6!) = 462

Vậy có 462 cách chọn khác nhau.

Bài 2: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Giải: Đây là bài toán chỉnh hợp vì thứ tự các chữ số quan trọng. Ta có:

A₅³ = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = 60

Vậy có 60 số khác nhau.

6. Kết luận

Hiểu rõ về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán đếm và các bài toán liên quan đến xác suất. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này.