Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 4 trong sách bài tập Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc vận dụng kiến thức về tích phân để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học. Cụ thể, các em sẽ được làm quen với việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong, tính thể tích của vật thể tròn xoay, và ứng dụng tích phân trong việc tìm độ dài đường cong.

1. Tính diện tích hình phẳng

Đây là phần quan trọng nhất của bài học. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f(x), y = g(x), x = a, và x = b (với f(x) ≥ g(x) trên [a, b]), ta sử dụng công thức:

Diện tích = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx

Các em cần chú ý xác định đúng các hàm f(x) và g(x), cũng như các giới hạn tích phân a và b.

2. Tính thể tích vật thể tròn xoay

Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật thể tròn xoay:

• Phương pháp đĩa tròn: Nếu vật thể tròn xoay được tạo ra bằng cách quay một vùng phẳng giới hạn bởi y = f(x), x = a, và x = b quanh trục Ox, thì thể tích của vật thể là:
• V = π ∫_a^b [f(x)]² dx
• Phương pháp vỏ trụ: Nếu vật thể tròn xoay được tạo ra bằng cách quay một vùng phẳng giới hạn bởi y = f(x), x = a, và x = b quanh trục Oy, thì thể tích của vật thể là:
• V = 2π ∫_a^b x * f(x) dx

Việc lựa chọn phương pháp nào phụ thuộc vào hình dạng của vật thể và trục quay.

3. Ứng dụng khác của tích phân trong hình học

Ngoài việc tính diện tích và thể tích, tích phân còn được sử dụng để tính độ dài đường cong, diện tích bề mặt của vật thể tròn xoay, và nhiều ứng dụng khác trong hình học.

4. Bài tập minh họa

Dưới đây là một số bài tập minh họa để giúp các em hiểu rõ hơn về cách ứng dụng tích phân trong hình học:

1. Bài tập 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = x² và y = 4.
2. Bài tập 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay vùng phẳng giới hạn bởi y = √x, x = 0, và x = 4 quanh trục Ox.
3. Bài tập 3: Tính độ dài đường cong y = x³ từ x = 0 đến x = 2.

5. Lời khuyên khi giải bài tập

• Đọc kỹ đề bài và xác định rõ các yếu tố cần thiết (hàm số, giới hạn tích phân, trục quay).
• Vẽ hình minh họa để hình dung rõ hơn về bài toán.
• Chọn phương pháp tích phân phù hợp (đĩa tròn, vỏ trụ, hoặc phương pháp khác).
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

6. Kết luận

Bài 4. Ứng dụng hình học của tích phân là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong bài học này sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán thực tế và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi. Hãy luyện tập thường xuyên và đừng ngần ngại tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc các nguồn tài liệu học tập khác.