THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 51 trang 27 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành.
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = cos frac{x}{2}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 0,x = frac{pi }{2}). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục (Ox).
Đề bài
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \cos \frac{x}{2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = \frac{\pi }{2}\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục \(Ox\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức: Tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) quay quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).
Lời giải chi tiết
Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:
\(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{{\pi ^2} + 2\pi }}{4}\).
Bài 51 trang 27 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều thuộc chương trình học về Đạo hàm. Bài tập này thường tập trung vào việc vận dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm lượng giác. Việc nắm vững kiến thức lý thuyết và kỹ năng tính toán là yếu tố then chốt để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
Bài 51 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 51, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng dạng bài tập cụ thể.
Khi tính đạo hàm của hàm số lượng giác, các em cần nhớ các công thức đạo hàm cơ bản sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1). Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = 2cos(2x + 1).
Để tính đạo hàm của hàm hợp, các em cần áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x).
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = ex2. Ta có: y' = ex2 * (x2)' = 2xex2.
Đạo hàm cấp hai của hàm số là đạo hàm của đạo hàm cấp một. Để tìm đạo hàm cấp hai, các em cần tính đạo hàm cấp một trước, sau đó tính đạo hàm của kết quả vừa tìm được.
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 + 2x2 + 1. Ta có: y' = 3x2 + 4x. Suy ra: y'' = 6x + 4.
Để tìm cực trị của hàm số, các em cần giải phương trình đạo hàm bằng 0 và xét dấu đạo hàm cấp hai tại các nghiệm tìm được. Nếu đạo hàm cấp hai dương thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm đó, nếu đạo hàm cấp hai âm thì hàm số đạt cực đại tại điểm đó.
Bài 51 trang 27 Sách bài tập Toán 12 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
