Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Chương 5 của SBT Toán 12 Cánh diều là một phần quan trọng trong việc củng cố kiến thức về hình học không gian. Chương này tập trung vào việc xây dựng và sử dụng các phương trình để mô tả các đối tượng hình học trong không gian ba chiều: mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu.

I. Phương trình mặt phẳng

Để hiểu rõ về phương trình mặt phẳng, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản như vectơ pháp tuyến, điểm thuộc mặt phẳng và phương trình tổng quát của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó, (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Việc xác định vectơ pháp tuyến đóng vai trò then chốt trong việc tìm phương trình mặt phẳng.

Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến phương trình mặt phẳng bao gồm:

• Tìm phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng.
• Tìm phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng.
• Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

II. Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng trong không gian có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau, bao gồm:

• Dạng tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct
• Dạng chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c

Trong đó, (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Các bài tập liên quan đến phương trình đường thẳng thường yêu cầu:

• Viết phương trình đường thẳng khi biết một điểm và vectơ chỉ phương.
• Xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng (song song, vuông góc, cắt nhau).
• Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

III. Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu có dạng:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó, (a, b, c) là tọa độ tâm của mặt cầu và R là bán kính của mặt cầu.

Các bài tập thường gặp liên quan đến phương trình mặt cầu bao gồm:

• Tìm phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
• Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng, mặt phẳng.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt cầu.

IV. Mối quan hệ giữa mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu

Chương 5 cũng đề cập đến mối quan hệ giữa các đối tượng hình học này. Ví dụ, việc xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc giữa mặt cầu và mặt phẳng là những bài toán quan trọng. Để giải quyết những bài toán này, chúng ta cần kết hợp kiến thức về phương trình của từng đối tượng và sử dụng các phương pháp đại số để tìm ra nghiệm.

Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng trong Chương 5 là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong hình học không gian. Montoan.com.vn hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và bài tập đa dạng, bạn sẽ tự tin chinh phục chương này.

Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập thực tế để đạt kết quả tốt nhất!

Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2, -1, 1).

Áp dụng công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng, ta có:

2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0

Tương đương với:

2x - y + z - 3 = 0

Đây là phương trình mặt phẳng cần tìm.