Giải bài 51 trang 66 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\).

a) Xác định toạ độ tâm \({\rm{I}}\) và tính bán kính \({\rm{R}}\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

b) Điểm \(A\left( {0;3; - 5} \right)\) có thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) hay không?

c) Điểm \(B\left( {1; - 4; - 1} \right)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\)?

d) Điểm \(C\left( {7;3; - 5} \right)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\)?

e) Lập phương trình tham số của đường thẳng \(IC\).

g) Xác định toạ độ các giao điểm \(M,N\) của đường thẳng \(IC\) và mặt cầu.

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu \({x^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\) có tâm \(I\left( {0; - 4; - 5} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {49} = 7\).

b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = 7 = R\).

Vậy \(A\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

c) Ta có: \(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {17} < R\).

Vậy \(B\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

d) Ta có: \(IC = \sqrt {{{\left( {7 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {65} > R\).

Vậy \(C\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

e) Ta có \(\overrightarrow {IC} = \left( {7;7;0} \right) = 7\left( {1;1;0} \right)\). Do đó \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(IC\).

Đường thẳng đi qua điểm \(I\left( {0; - 4; - 5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 4 + t\\z = - 5\end{array} \right.\).

g) Điểm \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(IC\) và mặt cầu nên điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(IC\). Vậy điểm \(M\) có toạ độ là: \(M\left( {t; - 4 + t; - 5} \right)\)

Điểm \(M\) nằm trên mặt cầu nên ta có: \({t^2} + {\left( { - 4 + t + 4} \right)^2} + {\left( { - 5 + 5} \right)^2} = 49\) hay \({t^2} = \frac{{49}}{2}\).

Suy ra \(t = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\) hoặc \(t = - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng \(IC\) và mặt cầu là: \(M\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 4 + \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right)\) và \(N\left( { - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 4 - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right)\).